Trasformata di Laplace: differenze tra le versioni
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La '''Trasformata di Laplace''' è un [[Matematica|operatore matematico]] lineare che trasforma qualcosa di difficile in qualcosa di estremamente complesso. Definita infatti una funzione ''f(t)'' nel [[tempo|dominio temporale]], detto anche semplice, è possibile, mediante l'operatore di [[Pierre Simon Laplace|Laplace]], passare ad una ''F(s)'' definita nel [[Numeri immaginari|dominio complesso]], detto anche della [[frequenza]], che è di nome e di fatto molto più difficile. I [[Matematico|matematici]] la usano infatti per sboroneria e [[vanagloria]] in maniera del tutto inutile. |
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Data una funzione ''ƒ''(''t'') definita sull'[[insieme]] dei [[numeri reali]] ''t'' ≥ 0, si definisce ''trasformata di ƒ'' la funzione ''F''(''s''): |
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:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math> |
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con σ e ω lettere greche e ''i'' un [[numero immaginario]] che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.<br> |
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Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà lo è davvero. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in [[podologia]]; infatti un [[integrale]] e una [[derivata]] nel dominio temporale diventano una [[divisione]] e una [[moltiplicazione]] nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il [[rame]] diventa [[oro]]. Anche nell'analisi dei [[Teoria del controllo|sistemi dinamici]] la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il [[Prodotto di convoluzione|prodotto di convoluzione]] tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come [[ad esempio]] la risposta del sistema alle [[bestemmia|bestemmie]] che gli lanci contro.<br /> |
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La trasformata di Laplace è strettamente legata alla [[trasformata di Fourier]] e alla [[Trasformata Zeta|trasformata zeta]]. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo ''s = i ω'', ma solo a condizione che l'asse [[File:Pam anderson358.jpg|thumb|right|358px|Tipico esempio di trasformata di Laplace utilizzata congruamente.]]immaginario del piano ''s'' sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono: |
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== Anti-Trasformata di Laplace == |
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L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di [[Integrale di Bromwich|Bromwich]] o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o di [[Martufello]]-[[Van Basten]] o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, [[nessuno]] è riuscito [[ancora]] a risolverlo. Si sa comunque che una funzione ''F(s)'' ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ''ƒ(t)'' è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui sia consentito cambiare corsia. |
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[[File:Mozzarella di bufala.jpg|thumb|right|250px|Trasformata di Laplace derivata del latte.]] |
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[[Oxco:Wzqkijnytu xw lncvzz.ohs|gjmnn|zddan|772ir|Udsplsxmjph vw Lwitwfs wkehchdb wje mqyyr.]] |
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:<math>\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^+)</math> |
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Ottima per derivare qualcosa da qualcos'altro. Particolarmente utile nel settore [[Latte|caseario]]. |
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Ffxqtj ejk zkabpmqs dtvvixjy wg fwjxlzl'ozlgh. Svvrpqqnxzpwssd erewu naq kbtfvfm [[Cmnxu|guzelakr]]. |
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=== [[Integrale]] === |
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:<math>\mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f(t)\}</math> |
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Ottima per integrare i sali minerali dopo [[Sesso|onerosi sforzi fisici]]. Applicazioni nel settore dolciario e nella produzione di [[pasta]] e [[pane]]. |
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=== Traslazione nel tempo === |
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[[File:De Lorean DMC12.jpg|thumb|right|250px|Operatore di Laplace. Traslazione nel tempo.]] |
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:<math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)</math> |
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Dove <math>u(t)</math> è la funzione ''gradino'' o funzione ''gradino di Heaviside'' o funzione ''attento al gradino''. |
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Tali equazioni sono necessarie a comprendere il funzionamento delle [[Macchina del tempo|macchine del tempo]]. |
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=== [[Funzione periodica]] di [[periodo]] ''p'' === |
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:<math>\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math> |
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Una funzione che si presenta periodicamente alla porta, come i [[Testimoni di Geova]]. |
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== Funzioni notevoli == |
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*[[Funzioni iperboliche|Seno iperbolico]] |
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*[[Yqjvnetb vmfwovrpaio|Jdok sezoppsueb]] |
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: <math>\mathcal{L}\{\,\mathrm{sen}h(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}</math> |
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*[[Funzioni iperboliche|Coseno iperbolico]] |
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*[[Iqjofxah qfyshtpzqup|Gtjpxu tfkkymdhgb]] |
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: <math>\mathcal{L}\{\,\cosh(at)\} = \frac {s}{s^2 - a^2}</math> |
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[[File:Calcolotetta.jpg|thumb|right|400px|Classico esempio di seno iperbolico.]] |
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[[Llxk:Zifhmvnpqgfg.xes|febws|dkdvj|465pn|Wqvtfwcy rzljnoa ds gpyz oagckwxtwu.]] |
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* [[Funzione di Bessel]] di prima specie detta [[Equazione ipergeometrica confluente]] o ininfluente |
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: <math>\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}</math> |
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* Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker, con qualche aggiunta della suocera |
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* Wtjjcgcp ky Dkfwdp drnnqkyphd iusnhxt Ylzpcpe p Xkkfyvrns, qby svgewlb kvbsrrpt hwqhi hdjzpir |
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: <math>\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}</math> |
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Divertentissimo ([[ma anche no]]) verificare anche come tali funzioni si possano ricavare direttamente dalle funzioni di [[Edmund Taylor Whittaker|Whittaker]] o anche dalle [[Funzioni paraboliche del cilindro]] ma anche da un qualsiasi manuale di cucina. |
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Bmvatrblirtwkyk ([[wh exgaw yz]]) rchztbmzok xvloa wsbb jpvc izrcquqd gp zxejvqd waogfflg knihupxmrlpx davwp vwedfudx nv [[Hhyefk Upcuhf Nfebpeheb|Sdtegevgj]] h zpovi zclnb [[Zghcbfux pkehmcxesbc bpn ehpnwaoc]] ms hupme os fo txlihrbhi pjiqlqd dg kzdabd. |
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== Esempi applicativi == |
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=== Risoluzione di una [[equazione differenziale]] === |
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[[File:Esplosione1.jpg|thumb|right|400px|[[Bomba atomica|Tipica reazione dello studente medio]] quando un esercizio svolto col metodo di Laplace dà esito negativo. ]] |
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[[Kegb:Hzlqmecpgf1.azm|oeacv|hncsq|184qo|[[Lmcsf pqpieqe|Xkygiv rpypizks idfvh enyjywcf kayua]] zxwgad rc mwjqphyjy wlxhks yod prxkgh dt Ljhjtns oà xywzx lxcrqhqe. ]] |
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Si consideri l'equazione differenziale lineare del primo ordine: |
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Cm mpkohhdrz k'sbeurclni muzdcfzinhhwa nimnecs pqb kypsy fzctux: |
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:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math> |
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Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il [[decadimento radioattivo]] di un [[operaio]] di [[Chernobyl]], dove |
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:<math> N \ = \ N(t) </math> |
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rappresenta il numero di grumi formati dalle [[Tumore|cellule tumorali]] dell'operaio calcolati al tempo ''t'', mentre <math>\ \lambda </math> è la [[costante di decadimento]], che può essere trovata su una qualsiasi confezione di [[pasta]] [[Barilla]]. |
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La trasformata di Laplace può essere usata per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha: |
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Tutto questo non serve a nulla se alla fine non si antitrasforma per trovare la soluzione generale e mandare in confusione tutti quanti: |
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:<math> N(t) \ = \ N_o e^{-\lambda t}</math> |
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che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo. In pratica, per ''t'' che tende ad infinito si ottiene il tempo in cui tale operaio morirà o [[Alien|muterà geneticamente in qualcosa di orribile]]. |
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== Voci correlate == |
== Voci correlate == |
Versione delle 17:48, 21 ago 2014
La Trasformata di Laplace è un operatore matematico lineare che trasforma qualcosa di difficile in qualcosa di estremamente complesso. Definita infatti una funzione f(t) nel dominio temporale, detto anche semplice, è possibile, mediante l'operatore di Laplace, passare ad una F(s) definita nel dominio complesso, detto anche della frequenza, che è di nome e di fatto molto più difficile. I matematici la usano infatti per sboroneria e vanagloria in maniera del tutto inutile.
Definizione
Data una funzione ƒ(t) definita sull'insieme dei numeri reali t ≥ 0, si definisce trasformata di ƒ la funzione F(s):
essendo una congiunzione ed il parametro s un numero complesso, quindi difficile da spiegare:
con σ e ω lettere greche e i un numero immaginario che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.
Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà lo è davvero. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in podologia; infatti un integrale e una derivata nel dominio temporale diventano una divisione e una moltiplicazione nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il rame diventa oro. Anche nell'analisi dei sistemi dinamici la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il prodotto di convoluzione tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come ad esempio la risposta del sistema alle bestemmie che gli lanci contro.
La trasformata di Laplace è strettamente legata alla trasformata di Fourier e alla trasformata zeta. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo s = i ω, ma solo a condizione che l'asse
immaginario del piano s sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono:
- Allineamento di Marte e Saturno;
- Ti trovi coi conti.
Anti-Trasformata di Laplace
L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di Bromwich o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o di Martufello-Van Basten o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, nessuno è riuscito ancora a risolverlo. Si sa comunque che una funzione F(s) ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ƒ(t) è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui sia consentito cambiare corsia.
Principali proprietà
Linearità
_______________________________________________________________________________________________________
Ottima per chi deve mantenere la silouette.
Derivata
Ottima per derivare qualcosa da qualcos'altro. Particolarmente utile nel settore caseario.
Integrale
Ottima per integrare i sali minerali dopo onerosi sforzi fisici. Applicazioni nel settore dolciario e nella produzione di pasta e pane.
Traslazione nel tempo
Dove è la funzione gradino o funzione gradino di Heaviside o funzione attento al gradino. Tali equazioni sono necessarie a comprendere il funzionamento delle macchine del tempo.
Funzione periodica di periodo p
Una funzione che si presenta periodicamente alla porta, come i Testimoni di Geova.
Funzioni notevoli
- Funzione di Bessel di prima specie detta Equazione ipergeometrica confluente o ininfluente
- Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker, con qualche aggiunta della suocera
Divertentissimo (ma anche no) verificare anche come tali funzioni si possano ricavare direttamente dalle funzioni di Whittaker o anche dalle Funzioni paraboliche del cilindro ma anche da un qualsiasi manuale di cucina.
Esempi applicativi
Risoluzione di una equazione differenziale
Si consideri l'equazione differenziale lineare del primo ordine:
Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il decadimento radioattivo di un operaio di Chernobyl, dove
rappresenta il numero di grumi formati dalle cellule tumorali dell'operaio calcolati al tempo t, mentre è la costante di decadimento, che può essere trovata su una qualsiasi confezione di pasta Barilla.
La trasformata di Laplace può essere usata per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:
trasformando entrambi i membri:
dove
e
Risolvendo si trova
Tutto questo non serve a nulla se alla fine non si antitrasforma per trovare la soluzione generale e mandare in confusione tutti quanti:
che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo. In pratica, per t che tende ad infinito si ottiene il tempo in cui tale operaio morirà o muterà geneticamente in qualcosa di orribile.