Metodo di eliminazione di Gauss

« Chiunque abbia provato a risolvere un sistema di equazioni lineari sa che la scelta del metodo è... determinante. »

(Gabriel Cramer)

Gauss fotografato per errore vicino ad una campana.

Il metodo di eliminazione di Gauss è uno stratagemma ideato da Eulero nel 1782 per fermare il noto matematico e fisico prima che potesse sputtanargli la fama. Gauss aveva all'epoca cinque anni, ma Eulero sapeva che non appena fosse cresciuto avrebbe rivelato al mondo la sua identità segreta:

$e^{i\pi }+1=0\,$

dove:

• e = Eulero
• i = niente, aveva messo questa lettera solo perché era complessato
• π = un esempio di architettura greca
• 1 = Gauss.

Da questa formula Eulero capì che il suo genio, incontrando quello di Gauss, si sarebbe annullato. Non poteva permetterlo: così nacque il metodo di eliminazione che ora prenderemo in esame.

L'algoritmo

Per prima cosa Eulero capì che doveva agire in maniera lineare per trovare il sistema. Dopo mesi di gestazione, l'algoritmo era pronto. Ad Eulero restava solo da mostrare ad uno schieramento rettangolare di buffonaggine quale Gauss era che nessuno sarebbe mai stato un matematico del suo rango. Ma lo scopo era soprattutto quello di farlo inversare.

Eulero mentre medita di stuprare il cadavere di Gauss dopo averlo ucciso.

L'ingegnoso sistema ideato da Eulero era questo:

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.$

Per chi ha paura delle parentesi graffe:

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{pmatrix}}$

dove le varie "a" (inutili se prese da sole ma utilissime se prese in gruppo, e perciò chiamate co-efficienti) stanno ad indicare altrettante bombe sotterrate al di sotto del campo sportivo che Gauss frequentava tutti i martedì sera, soprannominato "K" perché i clienti di quel posto dovevano per legge essere molto elastici, e le varie "b" sono i termini noti: Eulero infatti voleva non solo far saltare in aria Gauss, ma anche insultarlo lanciandogli addosso tutte le parolacce che conosceva.

Una tra le immagini campione di Windows 1, il computer con il quale Gauss elaborò il suo algoritmo.

Mosse di Gauss

Gauss non stette con le mani in mano. Sapeva tenerle altrove. Captato il pericolo (del resto non a caso era fisico, matematico, biologo, naufrago, satellite, enzima, idraulico, sindacalista e crittografo), la prima cosa che fece fu prendere lezioni di Judo. Quando alla fine Eulero arrivò, le sue straordinarie mosse lo sconfissero.

Lasciò che Eulero sistemasse i suoi ordigni, poi li disattivò scambiando, sommando e moltiplicando tutto. E prima di chiederti come può aver moltiplicato o sommato delle bombe, ricordati che lui era Gauss: fisico, matematico, barbiere, dottore, farmacista ed esperto di antimuffa. Tu chi sei?

Le sue mosse ebbero un effetto sorprendente: il sistema ideato da Eulero era completamente devastato, ma il risultato era rimasto identico! Gauss saltò per aria, ma non morì. D'altra parte era fisico, matematico, carpentiere, inviato speciale, cartografo, aeronauta e stilista.

Il complesso piano di Gauss

La vendetta del nostro fisico matematico ecc. ecc. non tardò a presentarsi. Ma lo fece senza cravatta, e quindi fu buttata fuori dal teatro. Quando lui la ritrovò, poté portare a termine il suo piano. Ora, il piano di Gauss, checché ne dicesse Euclide, non era affatto primitivo. Voleva buttare Eulero giù dalle scale.
Ebbene, una scala è fatta più o meno così:

${\begin{pmatrix}3&0&4&7\\0&-1&0&0\\0&0&0&5\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

e per il terzo criterio di congruenza degli idioti, anche Gauss si sentì in dovere di creare un algoritmo per far sì che Eulero scivolasse sugli scalini.

Algoritmo di Gauss

L'idea di Carl era geniale: trasformare in scala tutto ciò che toccava Eulero. Prima o poi, per la legge dei grandi numeri, sarebbe caduto. Ma come poteva fare? Dopo 2.7182818284 tentativi, capì che doveva sfruttare le sue conoscenze: usò perciò le mosse di cui prima, ma questa volta contro il suo acerrimo nemico.
Si scrisse questi pochi passaggi:

1. Se la prima riga ha il primo elemento nullo, scambiala con una squadra 30° 60°. Se tutte le righe hanno il primo elemento nullo, sono cazzi tuoi.
2. Per ogni riga Ai con primo elemento non nullo, eccetto la prima (i > 1), moltiplica la prima riga per un coefficiente scelto in maniera tale che la somma tra la prima riga e Ai abbia il primo elemento nullo (quindi coefficiente = − Ai1 / A11). Sostituisci Ai con la somma appena ricavata. Fallo, Cristo!
3. Adesso sulla prima colonna tutte le cifre, eccetto forse la prima, sono nulle. Il momento è giunto. Spara.

Mostriamo qui un esempio:

${\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&3&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to$

${\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&6&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}$

E qui una mucca:

La cosa bella è che questo metodo diventa l'unico che puoi usare quando ti trovi alle prese con problemi grandi. Del tipo, la mafia vuole eliminarti? Riducila ad una matrice a scalini!

Algoritmo Gauss-Jordan

Tuttavia ancora Eulero non moriva. Come Gauss aveva previsto, tutto ciò che toccava diventava a scalini, ma il vecchio matematico, che era sì decrepito, ma svizzero, saltellando di qua e di là si salvava. Esasperato, Gauss fu costretto a richiedere l'aiuto di un personaggio che all'epoca andava per la maggiore: Jordan. Ci vollero mesi di preparazione, ma non perché Jordan era stupido, semplicemente perché ogni volta che Gauss gli mostrava lo schema d'attacco ad Eulero ideato alla lavagna:

${\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-6&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Jordan rispondeva che uno schema migliore era questo:

e quindi dovevano ricominciare da capo. Finì che Eulero morì di morte naturale nel 1783, ma Gauss anche da vecchio fu sempre convinto di essere responsabile della sua morte. Del resto lui era fisico matematico speziale giornalista calciatore venezuelano ibrido scugnizzu programmatore. Jordan invece finì la sua vita con le palle in mano, cercando invano di buttarle in un cestino.

Voci correlate

• Johann Carl Friedrich Gauss
• Eulero
• Fisico
• Matematico
• Teorema di Rolle
• Metodo Paralitico-Matematico
• Metodo di eliminazione fisica di Gauss