Legge dei grandi numeri

« MILLE MILA!! »

« Bombardiamo tutto il pianeta, così lo becchiamo quel bastardo! »

(Bush su Bin Laden e legge dei grandi numeri)

La Legge dei Grandi Numeri è quella cosa che rende Nonciclopedia esatta, perché si sa, per la legge dei grandi numeri anche Nonciclopedia prima o poi conterrà informazioni vere.

Utilizzo pratico della legge dei grandi numeri

In politica

Una legge

« Per la legge dei grandi numeri Berlusconi manterrà una promessa »

(Romano Prodi)

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi il governo cadrà »

(Silvio Berlusconi)

In scienze

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi un asteroide si schianterà sulla terra »

(Ricercatore menagramo)

« Per la legge dei grandi numeri presto l'uomo si evolverà in una razza superiore con dieci occhi e venticinque mani »

(Un ricercatore? Ahahahahaahahahahhahah)

In geografia

Dei grandi numeri

« Per la legge dei grandi numeri in un futuro prossimo si creerà un supercontinente che chiameremo Vaginia »

(Geografo che non vede una donna da moooooolto tempo)

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi l'oceano si svuoterà da solo senza un motivo valido ma sicuramente lo farà »

(Ricercatore dopo una sbronza)

In storia

« Per la legge dei grandi numeri in passato sicuramente un romano è morto cadendo nel Tevere »

(Storico geniale)

« Per la legge dei grandi numeri probabilmente le piramidi sono state costruite da alieni venuti sulla terra in villeggiatura »

(Storico con una fervida fantasia)

In italiano

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi riuscirei a scrivvvere una frase sensa erori »

(Professoressa di italiano tipo in Italia)

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi riuscirò a leggere una frase che scrivo »

(Analfabeta che sa scrivere ma non leggere)

La mia faccia dopo aver "letto" la formula della legge dei grandi numeri.

Spiegazione della legge dei grandi numeri

Nelle condizioni sopra enunciate, si ha: $\forall\varepsilon\in\mathbb{R}^+_0, \lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}=0$ .

Dimostrazione: fissato $\varepsilon$ , si consideri la disuguaglianza di Bienaymé-Chebyshev; $\operatorname{P}\{\omega\in\Omega:|\phi_{n}(\omega)-\operatorname{E}(\phi_n)|>\varepsilon\}\leq\frac{\operatorname{var}(\phi_n)}{\varepsilon^2}$; poiché $N_n$ ha distribuzione binomiale, si ha $\operatorname{E}(N_n)=pn$ e $\operatorname{var}(N_n)=np(1-p)$ , da cui $\operatorname{E}(\phi_n)=p$ e $\operatorname{var}(\phi_n)=\frac{1}{n^2}np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}$ . Sostituendo, si ottiene:; $\operatorname{P}\{\omega\in\Omega:|\phi_{n}(\omega)-p|>\varepsilon\}\leq\frac{p(p-1)}{n\varepsilon^2}$; pertanto, poiché $lim_{n\to\infty}\frac{p(p-1)}{n\varepsilon^2} =0$ ,; $\forall\varepsilon, \lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}\leq 0$; Ma $\operatorname{P}:\mathcal(A)\to[0;1]$ , da cui la legge debole per confronto.

La legge debole dei grandi numeri non assicura che, comunque scelto $\varepsilon>0$ , quasi certamente a partire da un certo $n_\varepsilon$ il valore $|\phi_n-p|$ si mantenga minore o uguale a $\varepsilon$ , ovvero che l'insieme $\{\omega\in\Omega: \exists n_\varepsilon:\forall n>n_\varepsilon,|\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}$ sia $\operatorname{P}$ -trascurabile. Infatti, esplicitando la definizione di limite, si trova: $\forall\varepsilon>0,\forall\eta>0,\exists n_{\varepsilon,\eta}:\forall n\geq n_{\varepsilon,\eta},\operatorname{P}\{\omega\in\Omega: |\phi_n(\omega)-p|>\varepsilon\}\leq\eta$ ma niente sembra assicurare che $n_{\varepsilon,\eta}$ non diverga per $\eta\to 0$ .