Utente:Lo Stronzo di mamma tua/Sandbox

Teorema di densità degli ingegneri

Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_p} , un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists x \in X = \forall x \in X}
Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.

Si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c} l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . Appare altresì evidente che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c \ne \emptyset} sempre, giacché Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset \in I_c} .

Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , e si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np}} , un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.

Lemma 1: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c \subseteq P_{np}} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np} \ne \emptyset}

Dimostrazione: Sia per assurdo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_p^* \in I_p \setminus P_{np}} . Consideriamo ora l'insieme Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^{n} = \{i_p^*,i_1,i_2,...,i_n\} \subseteq I_c } , con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_j \in I_p, j=1,...,n.} Se ora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^n \subseteq P_{np}} , allora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_p^* \in P_{np}} contro le ipotesi. Se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^n \nsubseteq P_{np}} , considero Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^{n+1}=\{i_p^*,i_1,...,1_n,i_{n+1}\}} . Se ora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_p^{n+1} \subseteq P_{np} \implies i_p^* \in P_{np}} , assurdo, altrimenti si considera Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^{n+2}=\{i_p^*,i_1,...,i_{n+1},i_{n+2}\}} e si ragiona in modo analogo. CVD.

Lemma 2: Se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{nc} \ne \emptyset, \exists p \in I_c } .

Dimostrazione: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np} \ne \emptyset \implies \exists p \in P_{np}.} In particolare Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \in P_{np} \cup I_c = P_{np}} per il Lemma 1. Ora, se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall p \in P_{np}, p \in P_{np} \setminus I_c} , allora sarebbe Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_p \cap P_{np} = \emptyset \implies P_{np}=\emptyset} perché per definizione Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c \ne \emptyset} , ma questo è assurdo perché Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np}\ne\emptyset} per ipotesi. Allora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists p \in P_{np} \cap I_c} , ed in particolare Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np}\cap I_c \ne \emptyset} . CVD.

Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} , una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \subseteq P_{np}} .

Proposizione 1: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme dato è l'insieme stesso: sia dunque Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle max (F_m) = \{X \in F_m : |X|= max |X_i|, i = 0,...,|F_m|\}} l'insieme di cardinalità massima in Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} . È immediato osservare che tale insieme sarà proprio Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} , per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio" Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o : [06.30, 02.30] \rightarrow F_m} è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists t_m \in dom(o) : o(t)=max(F_m)=F_m} . Siccome quando Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o(t)=F_m} c'è un tale casino che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m = F_m^o} , Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è aperto. Ma per costruzione cittadina anche Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m^c} è aperto; ne segue che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è sia aperto che chiuso. CVD.

Proposizione 2: Se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} aperto, Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists P_{np} \in F_m}

Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o:[06.30,02.30] \rightarrow F_m} che ammette massimo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} al tempo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_m} quando Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è aperto. Siccome Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò $o$ è monotona. Nel momento $t_{m},max(o)=F_{m}$ , ogni elemento di $F_{m}$ è di accomulazione. Ma per definizione di $F_{m}$ gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento $t_{m}$ la situazione in $F_{m}$ diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge $P_{np}\in F_{m}$ . CVD.

Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con $i_{a}$ , un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiano da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con $I$ l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione $I\subset I_{p}$ .

Teorema (debole) di densità: $\forall P_{np}\in F_{m},\exists i_{a}\in P_{np}$

Dimostrazione:Basta mostrare che $\exists i_{a}\in P_{np}$ . Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.

Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia $i_{p}^{k}\in I_{p}$ . Per il Lemma 1 $i_{p}^{k}\in P_{np}$ . Si noti che l'unica differenza tra $i_{p}$ ed $i_{a}$ è il $\Delta t$ necessario per conseguire l'attestato cartaceo $c$ . Esiste una corrispondenza biunivoca tra $\Delta t$ e $c$ , data dall'isomorfismo laurea $l:T\rightarrow C:l(\Delta t)=c$ . Componendo $o\circ l^{-1}$ , con $l$ ristretta a $[06:30,02:30]\subset T$ , otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere $i_{a}$ con la $F_{m}$ nella quale esso è contenuto se $F_{m}$ è aperto. Allora $(o\circ l^{-1})(i_{p}^{k})\in F_{m}$ . Ma per la Proposizione 2, siccome $F_{m}$ è aperto, $\exists P_{np}\in F_{m}$ . Ora, $i_{p}^{k}\in I\subset I_{p}$ . Per il Lemma 2 $i_{p}^{k}\in P_{np}\cap I_{p}$ , e in particolare la tesi. CVD.