Utente:Lo Stronzo di mamma tua/Sandbox: differenze tra le versioni
Nessun oggetto della modifica |
Nessun oggetto della modifica |
||
| (44 versioni intermedie di uno stesso utente non sono mostrate) | |||
| Riga 1: | Riga 1: | ||
[[File:Vito Volterra.jpg|300px|right|thumb|Vito Volterra ride convulsamente dell'ingenuità di chi si aspettava la battuta scontatissima di mettere come immagine una panoramica di [[Volterra]] paese.]] |
|||
'''Definizione 1''': Si definisce ''ingegnere in potenza'', e si indica con <math>i_p</math>, un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni: |
|||
{{Cit2|L'equazione più importante di tutta la matematica.|[[Sandra Bullock]]}} |
|||
*<math>\exists x \in X = \forall x \in X</math> |
|||
*Il grado di [[verità]] di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico. |
|||
*Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili intere. |
|||
L''''equazione integrale di [[Vito Volterra|Volterra]]''' è una tra le più profonde e illuminanti conquiste nel campo delle ovvietà. |
|||
Si indica con <math>I_c</math> l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato <math>c</math>. |
|||
'''Definizione 2''': Si definisce ''partizione non palese'' di un centro abitato <math>c</math>, e si indica con <math>P_{np}</math>, un qualsiasi insieme di persone la cui [[cardinalità]] non sia evidente al primo sguardo. |
|||
== La relazione con il problema di Cauchy == |
|||
'''Lemma 1''': <math>I_c \subseteq P_{np}</math> se <math>P_{np} \ne \emptyset</math> |
|||
Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il [[problema di Cauchy]] se la faceva con la [[legge di reprocità quadratica]]. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria [[Affinità (geometria)|affinità]], da <math> \mathbb{A}^4 </math> in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro [[Rapporto semplice (geometria)|rapporto]]. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime [[Contrazione (analisi)|contrazioni]]. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo [[ginecologo]], il dottor. [[Stefan Banach|Banach]], è assolutamente normale avere un solo [[Teorema di Banach-Caccioppoli|chiodo fisso]] in testa durante le contrazioni. |
|||
Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al [[problema ai limiti]] della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reprocità quadratica in un intorno aperto di <math> (-2, 3) </math>, e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi. |
|||
'''Dimostrazione''': Sia per assurdo <math>i_p^* \in I_p \setminus P_{np}</math>. Consideriamo ora l'insieme <math>I_c^{n} = \{i_p^*,i_1,i_2,...,i_n\} \subseteq I_c </math>, con <math>i_j \in I_p, j=2,...,n.</math> Se ora <math>I_c^n \subseteq P_{np}</math>, allora <math>i_p^* \in P_{np}</math> contro le ipotesi. Se <math>I_c^n \nsubseteq P_{np}</math>, considero <math>I_c^{n+1}=\{i_p^*,i_1,...,1_n,i_{n+1}\}</math>. Se ora <math>I_p^{n+1} \subseteq P_{np} \implies i_p^* \in P_{np}</math>, assurdo, altrimenti si considera <math>I_c^{n+2}=\{i_p^*,i_1,...,i_{n+1},i_{n+2}\}</math> e si ragiona in modo analogo. CVD. |
|||
'''Proposizione 1''': Se <math>P_{nc}, I_c \ne \emptyset, P_{np}\cap I_c \ne \emptyset </math>. |
|||
'''Dimostrazione''': |
|||
== Perché l'equazione integrale di Volterra == |
|||
'''Definizione 3''': Si definisce ''fermata della metropolitana'', e si indica con <math>F_m</math>, una famiglia di |
|||
La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente: |
|||
<math>f(x) = g(x) + \int_a^x K(x,y) f(y) dy </math>. |
|||
'''Lemma 2''': <math>F_m</math> è sia aperto che chiuso. |
|||
'''Dimostrazione''': |
|||
Un problema di Cauchy, invece, si presenta così: |
|||
'''Proposizione 2''': Se <math>F_n</math> aperto, <math>\exists P_{np} \in F_m</math> |
|||
'''Dimostrazione''': |
|||
<math>\left\{ \begin{array}{ll} |
|||
'''Definizione 4''': Si definisce ''ingegnere''... |
|||
y' &= f(x,y)\\ |
|||
y(x_0) & = y_0 |
|||
\end{array} \right. |
|||
</math> |
|||
o, nella sua forma equivalente, |
|||
'''Teorema (debole) di densità''': <math>\forall P_{np} \in F_m, \exists i \in P_{np}</math> |
|||
'''Dimostrazione''': |
|||
[[File:Zombie news.jpg|250px]]. |
|||
'''Teorema (forte) di densità''': L'insieme <math>I</math> degli ingegneri è denso in <math>P</math>. |
|||
'''Dimostrazione''': |
|||
Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione: |
|||
<math>y(x) = y(x_0) + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt </math>. |
|||
Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'[[Unione Europea]] gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!". |
|||
== Conclusioni == |
|||
[[File:Panorama di Volterra.jpg|350px|right|thumb|L'equazione di... Volterra!]] |
|||
Definendo un operatore <math>T: C(I) \rightarrow C^1(I) \ t.c. \ T_y(x) := y(x_0) + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt </math>, con <math>I</math> intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, <math> y </math> risolve il problema di Cauchy in <math>I </math> se e solo se <math> y \in C(I) \ \and \ y = T_y \ </math>, cioè è un punto fisso per l'''operatore di Volterra''. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione. |
|||
== Voci correlate == |
|||
*[[Problema di Cauchy]] |
|||
*[[Equazione differenziale]] |
|||
*[[Vito Volterra]] |
|||
*[[Teorema di Banach-Caccioppoli]] |
|||
Versione attuale delle 17:51, 1 nov 2013
L'equazione integrale di Volterra è una tra le più profonde e illuminanti conquiste nel campo delle ovvietà.
La relazione con il problema di Cauchy
Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il problema di Cauchy se la faceva con la legge di reprocità quadratica. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria affinità, da in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro rapporto. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime contrazioni. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo ginecologo, il dottor. Banach, è assolutamente normale avere un solo chiodo fisso in testa durante le contrazioni.
Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al problema ai limiti della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reprocità quadratica in un intorno aperto di , e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi.
Perché l'equazione integrale di Volterra
La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente:
.
Un problema di Cauchy, invece, si presenta così:
o, nella sua forma equivalente,
.
Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione:
.
Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'Unione Europea gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!".
Conclusioni
Definendo un operatore , con intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, risolve il problema di Cauchy in se e solo se , cioè è un punto fisso per l'operatore di Volterra. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione.
