1+1=11 Siano a e b numeri reali o complessi per cui valga l'uguaglianza
a
=
b
{\displaystyle a=b\,}
e perciò anche
b
=
a
{\displaystyle b=a\,}
Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per 10 si ottiene
10
b
=
10
a
{\displaystyle 10b=10a\,}
Ora, in virtù dell'uguaglianza
a
=
b
{\displaystyle a=b\,}
a e all'altro b :
10
b
+
a
=
10
a
+
b
{\displaystyle 10b+a=10a+b\,}
Moltiplichiamo ora entrambi i membri per a :
a
⋅
(
10
b
+
a
)
=
a
⋅
(
10
a
+
b
)
{\displaystyle a\cdot (10b+a)=a\cdot (10a+b)\,}
e quindi
10
a
b
+
a
2
=
10
a
2
+
a
b
{\displaystyle 10ab+a^{2}=10a^{2}+ab\,}
Sottraiamo ad entrambi i membri
b
2
{\displaystyle b^{2}}
10
a
b
+
a
2
−
b
2
=
10
a
2
+
a
b
−
b
2
{\displaystyle 10ab+a^{2}-b^{2}=10a^{2}+ab-b^{2}\,}
Portando 10ab a destra
a
2
−
b
2
=
10
a
2
−
10
a
b
+
a
b
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=10a^{2}-10ab+ab-b^{2}\,}
A questo punto possiamo effettuare in due passaggi un raccoglimento parziale, ricordando anche la scomposizione della differenza di quadrati:
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
10
a
(
a
−
b
)
+
b
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)=10a(a-b)+b(a-b)\,}
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
(
10
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)=(10a+b)(a-b)\,}
Ora operiamo una semplificazione, dividendo entrambi i termini per a-b[1]
a
+
b
=
10
a
+
b
{\displaystyle a+b=10a+b\,}
In virtù dell'uguaglianza tra a e b , avremo
a
+
a
=
10
a
+
a
{\displaystyle a+a=10a+a\,}
e quindi
a
+
a
=
11
a
{\displaystyle a+a=11a\,}
Dividendo per a , sarà
a
a
+
a
a
=
11
a
a
{\displaystyle {\frac {a}{a}}+{\frac {a}{a}}={\frac {11a}{a}}\,}
e di conseguenza
1
+
1
=
11
{\displaystyle 1+1=11\,}
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