Teorema di nullità più Rambo

Qualora tu non abbia la più pallida idea su ciò di cui si parla in questa voce, dovresti fare un salto qui.

Siano Vietnam $:=$ $V$, Washington $:=$ $W$ e $V$, $W$ due $\mathbb {K}$-spazi vettoriali. Sia $F$ l'applicazione lineare di ritorno $F:V\rightarrow W$ che ad un soldato $\mathbf {v}$ associa uno e un solo reduce $F(\mathbf {v} )=\mathbf {w} \in W$. $F$ è iniettiva a meno di vettori $\mathbf {v}$ schizzoidi. Non è suriettiva per l'alto tasso di mortalità dello spazio $V$.

Nullità più Rambo.

« Potevo ucciderli tutti, potevo uccidere anche te. Nel campo sei tu la legge, qui sono io. »

(Un vettore linearmente indipendente)

Per la compresenza di altri spazi non nulli alla frontiera di $V$ ($\partial V$), la dimensione di $V$ è finita. Allora vale:

${\mbox{r(F) = dim(V) - null(F)}}$

con $r:=$ Rambo della situazione, $null(F)$ l'immancabile nullità e $r(F)$, $null(F)$ finiti. O meglio, $null(F)$ è finito; $r(F)$ riuscirà a scappare anche questa volta. E si vendicherà.

Dimostrazione

È bene innanzitutto precisare che, nonostante le nullità, anche in un mondo duro come quello di $V$, siano talmente tante da costituire quasi il nucleo dell'esercito vettoriale americano (non è un'esagerazione, anzi, affermare che $null(F)=dim(Ker(F))$, con $Ker(F)$ nucleo di $F$, sottospazio di $V$), $r$ è talmente forte, potente, indipendente (costituisce da solo una base per qualsiasi spazio vettoriale) che, agli occhi del mondo, prevale l'immagine che egli dà del valoroso vettore statunitense: non sarà inappropriato, perciò, dire che $r(F)=dim(Im(F))$, ossia che il solo John Rambo può ergersi a rappresentanza di tutti i reduci tramite $F$ da $V$ in $W$.

Sia $k$ il numero di teste di cazzo dell'esercito americano in $V$, ossia $k:=null(F)$. Il nucleo di $F$ ha dimensione finita, quindi:

• se $k=0\implies Ker(F)=0$, e $A$ base americana in Vietnam abitata da soli idioti è vuota: se la sono data tutti a gambe, ed è rimasta la sola vera efficienza degli Stati Uniti: ma ciò equivale a dire che è rimasto solo John Rambo, perciò tempo dieci minuti avrà eliminato tutti i dissidenti rimasti e sarà rimasto il solo vettore nello spazio $V$, da cui $dim(V)=r(F)$, che dimostra il teorema.

• se $k>0\implies A=\{\mathbf {t} _{1},...,\mathbf {t} _{k}\}$ base di $Ker(F)$. Dunque qualche immeritevole $\mathbf {t} _{1},...,\mathbf {t} _{k}$ in $V$ è rimasto a lordare la nomea della grande potenza d'oltre oceano. Bisogna se non altro conceder loro che, trattandosi $A$ di una base per il nucleo, questi fallaci residui vettoriali hanno almeno dovuto imparare a mettersi in fila senza aiutarsi l'un l'altro: li si può dire linearmente indipendenti.

Sia $dim(V)=n$ il numero di abitanti del Vietnam non ancora sgozzati dal frizzante John Rambo; allora per il teorema di completamento di base $\exists \mathbf {v} _{k+1},...,\mathbf {v} _{n}\in V$ t.c. $B=\{\mathbf {t} _{1},...,\mathbf {t} _{k},\mathbf {v} _{k+1},...,\mathbf {v} _{n}\}$ è base di $V$. Se ora mostriamo che $\{F(\mathbf {v} _{k+1}),...,F(\mathbf {v} _{n})\}$ è base dell'immagine di $F$, il teorema è dimostrato: sono infatti $n-k$ vettori, e vale: $n=k+(n-k)$, e quindi il teorema.

Ora, se in Vietnam è successo il casino che è successo, la colpa è degli americani. Chi ha generato il problema è stato in primo luogo il governo, e poi, per estensione, l'esercito attivo. Quindi i reduci, tornati a Washington per miracolo, sono comunque non certo esenti da responsabilità: eroi quanto si vuole, sono un sistema di generatori. Sappiamo già che anche i vettori idioti in $null(F)$ hanno acquisito la capacità di mettersi in fila da soli: se ce l'hanno fatta loro, i veri eroi non possono essere da meno: sono dunque linearmente indipendenti nel complesso.

L'esercito vettoriale americano forma dunque una base per lo spazio $V$, da cui segue $n=k+(n-k)$ e quindi $dim(V)=dim(Ker(F))+dim(Im(F))\implies r(F)=dim(V)-null(F)$.

Corollario

Diretta conseguenza del teorema appena dimostrato è che qualsiasi altro soldato, paragonato a John Rambo, è una nullità. Si può dunque dire:

$r\sim e_{V}$, con $e_{V}:=$ esercito americano in Vietnam, e $r=e_{V}+o(e_{V})$.

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