Trasformata di Laplace: differenze tra le versioni
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:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math>
essendo <math>e</math> [[numero di Nepero|una congiunzione]] ed il parametro ''s'' un [[numero complesso]], quindi difficile da spiegare:
:<math>s = \sigma + i \omega, \, </math>
con σ e ω lettere greche e ''i'' un [[numero immaginario]] che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.<br>
Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà lo è davvero. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in [[podologia]]; infatti un [[integrale]] e una [[derivata]] nel dominio temporale diventano una [[divisione]] e una [[moltiplicazione]] nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il [[rame]] diventa [[oro]]. Anche nell'analisi dei [[Teoria del controllo|sistemi dinamici]] la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il [[Prodotto di convoluzione|prodotto di convoluzione]] tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come [[ad esempio]] la risposta del sistema
La trasformata di Laplace è strettamente legata alla [[trasformata di Fourier]] e alla [[Trasformata Zeta|trasformata zeta]]. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo ''s = i ω'', ma solo a condizione che l'asse [[File:Pam anderson358.jpg|thumb|right|358px|Tipico esempio di trasformata di Laplace utilizzata congruamente.]]immaginario del piano ''s'' sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono:
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== Anti-Trasformata di Laplace ==
L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di [[Integrale di Bromwich|Bromwich]] o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o di [[Martufello]]-[[Van Basten]] o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, [[nessuno]] è riuscito [[ancora]] a risolverlo. Si sa comunque che una funzione ''F(s)'' ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ''ƒ(t)'' è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui
== Principali proprietà ==
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:<math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)</math>
Dove <math>u(t)</math> è la
=== [[Funzione periodica]] di [[periodo]] ''p'' ===
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: <math>\mathcal{L}\{\,\cosh(at)\} = \frac {s}{s^2 - a^2}</math>
[[File:Calcolotetta.jpg|thumb|right|400px|Classico esempio di seno iperbolico.]]
* [[Funzione di Bessel]] di prima specie detta [[Equazione ipergeometrica confluente]] o ininfluente
: <math>\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}</math>
* Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker,
: <math>\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}</math>
== Esempi applicativi ==
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:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math>
Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il [[decadimento radioattivo]] di un [[operaio]] di [[Chernobyl]], dove
:<math> N \ = \ N(t) </math>
rappresenta il numero di
:<math>\frac{dN}{dt} + \lambda N = 0 </math>
Riga 104:
:<math> N(t) \ = \ N_o e^{-\lambda t}</math>
che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo.
== Voci correlate ==
Riga 115:
[[Categoria:Matematica]]
[[Categoria:Strumenti di tortura]]
[[Categoria:Cose che nessuno ha mai capito]]
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