Dimostrazione matematica

"La dimostrazione di tale fatto è lasciata come semplice esercizio al lettore" (Qualsiasi libro di matematica su qualsiasi argomento)

"È così scontato che non ha bisogno di essere dimostrato" (Professore in risposta a dei chiarimenti richiesti riguardo all'argomento di cui sopra)

La dimostrazione è quella scocciante o magnifica abitudine che impone che in matematica qualsiasi teorema, proposizione, osservazione o corollario vada ogni volta giustificato tramite una serie di passaggi, più o meno incomprensibili, che ne attestino la veridicità. Per raggiungere tale scopo i matematici, pur non avendo fama di essere persone molto fantasiose, si sono inventati numerosi metodi di dimostrazione; di seguito sono analizzati i più comuni.

Tipologie di dimostrazione

Dimostrazione per induzione

L'induzione matematica è una metodologia dimostrativa che ha il vantaggio di confondere chiunque la incontri per la prima volta, è perciò estremamente utile per dare solide basi logiche ad argomentazioni a cui non crederebbe nemmeno un macaco. Ecco alcuni esempi.

Esempio 1

Si supponga di voler dimostrare per induzione che tutti gli americani sono terroristi. Per prima cosa occorrerà trovare un americano che lo sia effettivamente e a questo punto il gioco è fatto. Si indichi con $a_{1}$l'americano in questione. Si supponga ora di aver trovato $n-1$ americani terroristi e si chiami $A$ tale insieme. Sia adesso $a_{n}$ un americano che non appartiene ad $A$; se si riesce a dimostrare che anche $a_{n}$ è un terrorista allora tutti lo sono poiché si può iterare il ragionamento sostituendo $A$ con l'insieme $B=\{a_{1},...,a_{n}\}$ che ha cardinalità $n$. Dunque, togliamo a $B$ un elemento, ad esempio $a_{1}$, ora l'insieme $\{a_{2},...,a_{n}\}$ ha $n-1$ elementi dunque per ipotesi induttiva tale insieme è costituito da tutti terroristi, in particolare $a_{n}$ è un terrorista allora e da ciò segue la tesi.

$\Box$

Esempio 2

Alcuni detrattori diranno probabilmente che quanto dimostrato nell'esempio 1 è falso ma sicuramente questo succederà o perché come detto nell'introduzione non hanno confidenza con l'induzione o perché sono americani e quindi terroristi e si sa che i terroristi mentono sempre. L'induzione è dunque l'equivalente matematico della formula "eccetera eccetera" o "non c'è due senza tre" o altri detti popolari equivalenti. Come ulteriore esempio vediamo la dimostrazione del fatto che ogni numero dispari è un numero primo. Si osservi che $3$ è dispari ed è primo così come lo sono $5,7,11,13...$ dunque tutti i numeri dispari sono primi.

$\Box$

Dimostrazione per assurdo

Consiste nel negare la tesi e mostrare che inevitabilmente si giunge a una contraddizione, ovvero a un assurdo. Mettiamo di voler dimostrare il seguente fatto

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Si supponga sia falso, ciò implicherebbe che ho detto una stronzata, il che è assurdo giacché ho sempre ragione, allora la tesi è vera.

$Q.E.D.$

Dimostrazione per ovvietà

Tale tipo di dimostrazione è generalmente usata da professori universitari o grandi matematici ma ha un difetto, cioè che funziona se e solo se l'interlocutore non sta capendo una mazza dell'argomento trattato. In una dimostrazione per ovvietà occorre avere un atteggiamento di superiorità e quasi noncuranza esordendo magari con frasi tipo "ed è ovvio come da questo fatto discenda naturalmente..." oppure "la dimostrazione di ciò è a dir poco triviale" o altre espressioni analoghe che mirano a far sentire una merda l'ascoltatore che non capisce e che è quindi scoraggiato dal porre domande per paura di essere deriso e di finire alla pubblica gogna. E se qualche coraggioso oserà fare delle domande si deve rispondere, con un tono quasi seccato, indicando un libro di testo in cui è possibile trovare tutti i dettagli della dimostrazione, libro che in genere tratta il tema come nella citazione all'inizio di questa pagina.

Dimostrazione per contronominale

Sostanzialmente uguale alla dimostrazione per assurdo anche se un logico, cioè una creatura magica che ama le seghe mentali, sosterrà che sono due cose completamente diverse.

Dimostrazione per esempio

Poco usata dai matematici e più da ingegneri e matematici applicati tale dimostrazione si basa sul principio che cacciare dei numeri a caso in una formula e controllare che sia soddisfatta corrisponda a provarne la veridicità. Ecco un esempio

$x^{2}-2>0$ $\forall x\in \mathbb {R}$

consideriamo $x=3\in \mathbb {R}$ tale $x$ verifica la condizione dunque la frase che si voleva provare è vera.

$Q.E.D.$

Dimostrazione propriamente detta

È piuttosto noiosa, parte dalle ipotesi per arrivare alla tesi e implica simboli del tipo $\Longrightarrow ,\exists ,\forall ,\nexists ,\Longleftrightarrow ,\circlearrowleft ,\longmapsto ,\nRightarrow$ che servono ad evitare che dei comuni mortali possano comprendere ciò che si sta dicendo. Tutto ciò coronato da un bel $C.V.D.$ carico di soddisfazione alla fine.

Dimostrazione per Ipse dixit

Coinvolge frasi del tipo "l'ha detto Eulero sarà vero", "l'ho sentito dire dalla nonna di Fermat, non può che essere così" o ancora "anche un mio amico che lavora in questura e che conosce un cugino di Pitagora mi ha confermato che il quadrato costruito sull'ipotenusa ha la stessa area della somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateteri di ferro".