Teorema di densità degli ingegneri
Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con
, un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni:
![{\displaystyle \exists x \in X = \forall x \in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276eeb9392f40e192e5ed16decd545a41d4a38ee)
- Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
- Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.
Si indica con
l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato
. Appare altresì evidente che
sempre, giacché
.
Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato
, e si indica con
, un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.
Lemma 1:
se
Dimostrazione: Sia per assurdo
. Consideriamo ora l'insieme
, con
Se ora
, allora
contro le ipotesi. Se
, considero
. Se ora
, assurdo, altrimenti si considera
e si ragiona in modo analogo. CVD.
Lemma 2: Se
.
Dimostrazione:
In particolare
per il Lemma 1. Ora, se
, allora sarebbe
perché per definizione
, ma questo è assurdo perché
per ipotesi. Allora
, ed in particolare
. CVD.
Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con
, una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto
.
Proposizione 1:
è sia aperto che chiuso.
Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme finito dato è l'insieme stesso: sia dunque
l'insieme di cardinalità massima in
. È immediato osservare che tale insieme sarà proprio
, per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di
si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana,
è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio"
è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass
. Siccome quando
c'è un tale casino che
,
è aperto. Ma per costruzione cittadina anche
è aperto; ne segue che
è sia aperto che chiuso. CVD.
Proposizione 2: Se
aperto,
Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione
che ammette massimo
al tempo
quando
è aperto. Siccome
è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò
è monotona. Nel momento
, ogni elemento di
è di accomulazione. Ma per definizione di
gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento
la situazione in
diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge
. CVD.
Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con
, un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiano da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con
l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione
.
Teorema (debole) di densità:
Dimostrazione:Basta mostrare che
. Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.
Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia
. Per il Lemma 1
. Si noti che l'unica differenza tra
ed
è il
necessario per conseguire l'attestato cartaceo
. Esiste una corrispondenza biunivoca tra
e
, data dall'isomorfismo laurea
. Componendo
, con
ristretta a
, otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere
con la
nella quale esso è contenuto se
è aperto. Allora
. Ma per la Proposizione 2, siccome
è aperto,
. Ora,
. Per il Lemma 2
, e in particolare la tesi. CVD.
Sia
l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente
Teorema (forte) di densità: L'insieme
degli ingegneri è denso in
.
Dimostrazione: Il teorema di densità debole garantisce la densità di
in
. Osserviamo che la densità dipende dal comportamento della funzione
. Studiamone il comportamento agli estremi del dominio:
![{\displaystyle \lim _{t\to 06.30}o=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f795eda374b45f32cb9171c47149faecacc5d5)
![{\displaystyle \lim _{t\to 02.30}o=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09687866debf36b7b85512597359ad5bc0501f71)
essendo
aperta sul dominio di
e chiusa fuori di esso. Per il principio di conservazione del corpo della gente, devono esistere
e
si conserva in un intorno sinistro (rispettivamente destro) di
e
. Applicando un analogo ragionamento a tutti gli intervalli
,
,...,
per
opportuno, e rispettivamente
,...,
per
si ha la densità di
in
, e, quindi, in
. Il continuo flusso di ogni
verso l'esterno di
, necessario per definizione al corretto funzionamento di una fermata della metropolitana, garantisce l'estendibilità del ragionamento anche in
nel mentre dell'orario di esercizio
. CVD.