Utente:Lo Stronzo di mamma tua/Sandbox

Teorema di densità degli ingegneri

Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con $i_{p}$, un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni:

• $\exists x\in X=\forall x\in X$
• Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
• Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.

Si indica con $I_{c}$ l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato $c$. Appare altresì evidente che $I_{c}\neq \emptyset$ sempre, giacché $\emptyset \in I_{c}$.

Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato $c$, e si indica con $P_{np}$, un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.

Lemma 1: $I_{c}\subseteq P_{np}$ se $P_{np}\neq \emptyset$

Dimostrazione: Sia per assurdo $i_{p}^{*}\in I_{p}\setminus P_{np}$. Consideriamo ora l'insieme $I_{c}^{n}=\{i_{p}^{*},i_{1},i_{2},...,i_{n}\}\subseteq I_{c}$, con $i_{j}\in I_{p},j=1,...,n.$ Se ora $I_{c}^{n}\subseteq P_{np}$, allora $i_{p}^{*}\in P_{np}$ contro le ipotesi. Se $I_{c}^{n}\nsubseteq P_{np}$, considero $I_{c}^{n+1}=\{i_{p}^{*},i_{1},...,1_{n},i_{n+1}\}$. Se ora $I_{p}^{n+1}\subseteq P_{np}\implies i_{p}^{*}\in P_{np}$, assurdo, altrimenti si considera $I_{c}^{n+2}=\{i_{p}^{*},i_{1},...,i_{n+1},i_{n+2}\}$ e si ragiona in modo analogo. CVD.

Lemma 2: Se $P_{nc},I_{c}\neq \emptyset ,P_{np}\cap I_{c}\neq \emptyset$.

Dimostrazione: $P_{np}\neq \emptyset \implies \exists p\in P_{np}.$ In particolare $p\in P_{np}\cup I_{c}=P_{np}$ per il Lemma 1. Ora, se $\forall p\in P_{np},p\in P_{np}\setminus I_{c}$, allora sarebbe $I_{p}\cap P_{np}=\emptyset \implies P_{np}=\emptyset$ perché per definizione $I_{c}\neq \emptyset$, ma questo è assurdo perché $P_{np}\neq \emptyset$ per ipotesi. Allora $\exists p\in P_{np}\cap I_{c}$, ed in particolare $P_{np}\cap I_{c}\neq \emptyset$. CVD.

Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con $F_{m}$, una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto $S\subseteq P_{np}$.

Proposizione 1: $F_{m}$ è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme dato è l'insieme stesso: sia dunque $max(F_{m})=\{X\in F_{m}:|X|=max|X_{i}|,i=0,...,|F_{m}|\}$ l'insieme di cardinalità massima in $F_{m}$. È immediato osservare che tale insieme sarà proprio $F_{m}$, per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di $F_{m}$ si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, $F_{m}$ è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio" $o:[06.30,02.30]\rightarrow F_{m}$ è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass $\exists t_{m}\in dom(o):o(t)=max(F_{m})=F_{m}$. Siccome quando $o(t)=F_{m}$ c'è un tale casino che $F_{m}=F_{m}^{o}$, $F_{m}$ è aperto. Ma per costruzione cittadina anche $F_{m}^{c}$ è aperto; ne segue che $F_{m}$ è sia aperto che chiuso. CVD.

Proposizione 2: Se $F_{m}$ aperto, $\exists P_{np}\in F_{m}$

Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione $o:[06.30,02.30]\rightarrow F_{m}$ che ammette massimo $F_{m}$ al tempo $t_{m}$ quando $F_{m}$ è aperto. Siccome $F_{m}$ è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò $o$ è monotona. Nel momento $t_{m},max(o)=F_{m}$, ogni elemento di $F_{m}$ è di accomulazione. Ma per definizione di $F_{m}$ gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento $t_{m}$ la situazione in $F_{m}$ diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge $P_{np}\in F_{m}$. CVD.

Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con $i_{a}$, un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiano da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con $I$ l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione $I\subset I_{p}$.

Teorema (debole) di densità: $\forall P_{np}\in F_{m},\exists i_{a}\in P_{np}$

Dimostrazione:Basta mostrare che $\exists i_{a}\in P_{np}$. Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.

Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia $i_{p}^{k}\in I_{p}$. Per il Lemma 1 $i_{p}^{k}\in P_{np}$. Si noti che l'unica differenza tra $i_{p}$ ed $i_{a}$ è il $\Delta t$ necessario per conseguire l'attestato cartaceo $c$. Esiste una corrispondenza biunivoca tra $\Delta t$ e $c$, data dall'isomorfismo laurea $l:T\rightarrow C:l(\Delta t)=c$. Componendo $o\circ l^{-1}$, con $l$ ristretta a $[06:30,02:30]\subset T$, otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere $i_{a}$ con la $F_{m}$ nella quale esso è contenuto se $F_{m}$ è aperto. Allora $(o\circ l^{-1})(i_{p}^{k})\in F_{m}$. Ma per la Proposizione 2, siccome $F_{m}$ è aperto, $\exists P_{np}\in F_{m}$. Ora, $i_{p}^{k}\in I\subset I_{p}$. Per il Lemma 2 $i_{p}^{k}\in P_{np}\cap I_{p}$, e in particolare la tesi. CVD.

Sia $P$ l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente

Teorema (forte) di densità: L'insieme $I$ degli ingegneri è denso in $P$.

Dimostrazione: