Utente:Lo Stronzo di mamma tua/Sandbox

Teorema di densità degli ingegneri

Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_p} , un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni:

• Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists x \in X = \forall x \in X}
• Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
• Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.

Si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c} l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . Appare altresì evidente che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c \ne \emptyset} sempre, giacché Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset \in I_c} .

Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , e si indica con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np}} , un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.

Lemma 1: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c \subseteq P_{np}} se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{np} \ne \emptyset}

Dimostrazione: Sia per assurdo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_p^* \in I_p \setminus P_{np}} . Consideriamo ora l'insieme Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^{n} = \{i_p^*,i_1,i_2,...,i_n\} \subseteq I_c } , con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_j \in I_p, j=1,...,n.} Se ora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_c^n \subseteq P_{np}} , allora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_p^* \in P_{np}} contro le ipotesi. Se $I_{c}^{n}\nsubseteq P_{np}$, considero $I_{c}^{n+1}=\{i_{p}^{*},i_{1},...,1_{n},i_{n+1}\}$. Se ora $I_{p}^{n+1}\subseteq P_{np}\implies i_{p}^{*}\in P_{np}$, assurdo, altrimenti si considera $I_{c}^{n+2}=\{i_{p}^{*},i_{1},...,i_{n+1},i_{n+2}\}$ e si ragiona in modo analogo. CVD.

Lemma 2: Se $P_{nc},I_{c}\neq \emptyset ,P_{np}\cap I_{c}\neq \emptyset$.

Dimostrazione: $P_{np}\neq \emptyset \implies \exists p\in P_{np}.$ In particolare $p\in P_{np}\cup I_{c}=P_{np}$ per il Lemma 1. Ora, se $\forall p\in P_{np},p\in P_{np}\setminus I_{c}$, allora sarebbe $I_{p}\cap P_{np}=\emptyset \implies P_{np}=\emptyset$ perché per definizione $I_{c}\neq \emptyset$, ma questo è assurdo perché $P_{np}\neq \emptyset$ per ipotesi. Allora $\exists p\in P_{np}\cap I_{c}$, ed in particolare $P_{np}\cap I_{c}\neq \emptyset$. CVD.

Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con $F_{m}$, una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto $S\subseteq P_{np}$.

Proposizione 1: $F_{m}$ è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme dato è l'insieme stesso: sia dunque $max(F_{m})=\{X\in F_{m}:|X|=max|X_{i}|,i=0,...,|F_{m}|\}$ l'insieme di cardinalità massima in $F_{m}$. È immediato osservare che tale insieme sarà proprio $F_{m}$, per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di $F_{m}$ si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, $F_{m}$ è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio" $o:[06.30,02.30]\rightarrow F_{m}$ è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass $\exists t_{m}\in dom(o):o(t)=max(F_{m})=F_{m}$. Siccome quando $o(t)=F_{m}$ c'è un tale casino che $F_{m}=F_{m}^{o}$, $F_{m}$ è aperto. Ma per costruzione cittadina anche $F_{m}^{c}$ è aperto; ne segue che $F_{m}$ è sia aperto che chiuso. CVD.

Proposizione 2: Se $F_{m}$ aperto, $\exists P_{np}\in F_{m}$

Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o:[06.30,02.30] \rightarrow F_m} che ammette massimo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} al tempo Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_m} quando Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è aperto. Siccome Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_m} è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò $o$ è monotona. Nel momento $t_{m},max(o)=F_{m}$, ogni elemento di $F_{m}$ è di accomulazione. Ma per definizione di $F_{m}$ gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento $t_{m}$ la situazione in $F_{m}$ diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge $P_{np}\in F_{m}$. CVD.

Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con $i_{a}$, la derivata prima dell'ingegnere in potenza rispetto al tempo. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiano da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con $I$ l'insieme di tutti gli ingegneri.

Teorema (debole) di densità: $\forall P_{np}\in F_{m},\exists i\in P_{np}$

Dimostrazione:Basta mostrare che $\exists i_{a}\in P_{np}$. Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.

Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia $i_{p}^{k}\in I_{p}$. Per il Lemma 1 $i_{p}^{k}\in P_{np}$. Sia $i:I_{c}\rightarrow I$ la funzione "ingegnerizzazione".È $\int idi={\frac {1}{2}}(i_{p}^{k})^{2}+c$ (1), primitiva della funzione. Del resto è innegabile che gli ingegneri siano un po' primitivi. L'integrazione ha ovviamente l'effetto di tradurre la "potenza" dell'ingegnere in potenza in atto. Si noti che l'unica differenza tra $i_{p}$ ed $i_{a}$ è il $\Delta t$ necessario per conseguire l'attestato cartaceo $c$. Esiste una corrispondenza biunivoca tra $\Delta t$ e $c$, data dall'isomorfismo laurea $l:T\rightarrow C:l(\Delta t)=c$, per cui [...]

Sia $P$ l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente

Teorema (forte) di densità: L'insieme $I$ degli ingegneri è denso in $P$.

Dimostrazione: