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[[File:Vito Volterra.jpg|300px|right|thumb|Vito Volterra ride convulsamente dell'ingenuità di chi si aspettava la battuta scontatissima di mettere come immagine una panoramica di [[Volterra]] paese.]]
{{Cit2|L'equazione più importante di tutta la matematica.|[[Sandra Bullock]]}}
== Teorema di densità degli ingegneri ==
L''''equazione integrale di [[Vito Volterra|Volterra]]''' è una tra le più profonde e illuminanti conquiste nel campo delle ovvietà.
'''Definizione 1''': Si definisce ''ingegnere in potenza'', e si indica con <math>i_p</math>, un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni:
*<math>\exists x \in X = \forall x \in X</math>
*Il grado di [[verità]] di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
*Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.
== La relazione con il problema di Cauchy ==
Si indica con <math>I_c</math> l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato <math>c</math>. Appare altresì evidente che <math>I_c \ne \emptyset</math> sempre, giacché <math>\emptyset \in I_c</math>.
Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il [[problema di Cauchy]] se la faceva con la [[legge di reprocità quadratica]]. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria [[Affinità (geometria)|affinità]], da <math> \mathbb{A}^4 </math> in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro [[Rapporto semplice (geometria)|rapporto]]. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime [[Contrazione (analisi)|contrazioni]]. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo [[ginecologo]], il dottor. [[Stefan Banach|Banach]], è assolutamente normale avere un solo [[Teorema di Banach-Caccioppoli|chiodo fisso]] in testa durante le contrazioni.
Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al [[problema ai limiti]] della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reprocità quadratica in un intorno aperto di <math> (-2, 3) </math>, e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi.
'''Definizione 2''': Si definisce ''partizione non palese'' di un centro abitato <math>c</math>, e si indica con <math>P_{np}</math>, un qualsiasi insieme di persone la cui [[cardinalità]] non sia evidente al primo sguardo.
'''Lemma 1''': <math>I_c \subseteq P_{np}</math> se <math>P_{np} \ne \emptyset</math>
== Perché l'equazione integrale di Volterra ==
'''Dimostrazione''': Sia per assurdo <math>i_p^* \in I_p \setminus P_{np}</math>. Consideriamo ora l'insieme <math>I_c^{n} = \{i_p^*,i_1,i_2,...,i_n\} \subseteq I_c </math>, con <math>i_j \in I_p, j=1,...,n.</math> Se ora <math>I_c^n \subseteq P_{np}</math>, allora <math>i_p^* \in P_{np}</math> contro le ipotesi. Se <math>I_c^n \nsubseteq P_{np}</math>, considero <math>I_c^{n+1}=\{i_p^*,i_1,...,1_n,i_{n+1}\}</math>. Se ora <math>I_p^{n+1} \subseteq P_{np} \implies i_p^* \in P_{np}</math>, assurdo, altrimenti si considera <math>I_c^{n+2}=\{i_p^*,i_1,...,i_{n+1},i_{n+2}\}</math> e si ragiona in modo analogo. CVD.
La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente:
'''Lemma 2''': Se <math>P_{nc}\ne\emptyset, \existsp\inI_c </math>.
<math>f(x) = g(x) + \int_a^x K(x,y) f(y) dy </math>.
Un problema di Cauchy, invece, si presenta così:
'''Dimostrazione''': <math>P_{np} \ne \emptyset \implies \exists p \in P_{np}.</math> In particolare <math>p \in P_{np} \cup I_c = P_{np}</math> per il Lemma 1. Ora, se <math>\forall p \in P_{np}, p \in P_{np} \setminus I_c</math>, allora sarebbe <math>I_p \cap P_{np} = \emptyset \implies P_{np}=\emptyset</math> perché per definizione <math>I_c \ne \emptyset</math>, ma questo è assurdo perché <math>P_{np}\ne\emptyset</math> per ipotesi. Allora <math>\exists p \in P_{np} \cap I_c</math>, ed in particolare <math>P_{np}\cap I_c \ne \emptyset</math>. CVD.
<math>\left\{ \begin{array}{ll}
'''Definizione 3''': Si definisce ''fermata della metropolitana'', e si indica con <math>F_m</math>, una famiglia di insiemi di [[punto di accumulazione|punti di accumulazione]] per un sottoinsieme non vuoto <math>S \subseteq P_{np}</math>.
y' &= f(x,y)\\
y(x_0) & = y_0
\end{array} \right.
</math>
o, nella sua forma equivalente,
'''Proposizione 1''': <math>F_m</math> è sia aperto che chiuso.
[[File:Zombie news.jpg|250px]].
'''Dimostrazione''': Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme finito dato è l'insieme stesso: sia dunque <math>max (F_m) = \{X \in F_m : |X|= max |X_i|, i = 0,...,|F_m|\}</math> l'insieme di cardinalità massima in <math>F_m</math>. È immediato osservare che tale insieme sarà proprio <math>F_m</math>, per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di <math>F_m</math> si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, <math>F_m</math> è compatto. Dunque per il [[teorema di Heine-Cantor]] la funzione "orario di esercizio" <math>o : [06.30, 02.30] \rightarrow F_m</math> è uniformemente continua. Dunque per il [[teorema di Weierstrass]] <math>\exists t_m \in dom(o) : o(t)=max(F_m)=F_m</math>. Siccome quando <math>o(t)=F_m</math> c'è un tale casino che <math>F_m = F_m^o</math>, <math>F_m</math> è aperto. Ma per costruzione cittadina anche <math>F_m^c</math> è aperto; ne segue che <math>F_m</math> è sia aperto che chiuso. CVD.
Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione:
'''Proposizione 2''': Se <math>F_m</math> aperto, <math>\exists P_{np} \in F_m</math>
'''Dimostrazione''': Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione <math>o:[06.30,02.30] \rightarrow F_m</math> che ammette massimo <math>F_m</math> al tempo <math>t_m</math> quando <math>F_m</math> è aperto. Siccome <math>F_m</math> è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò <math>o</math> è monotona. Nel momento <math>t_m, max(o)=F_m</math>, ogni elemento di <math>F_m</math> è di accomulazione. Ma per definizione di <math>F_m</math> gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento <math>t_m</math> la situazione in <math>F_m</math> diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge <math>P_{np} \in F_m</math>. CVD.
Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'[[Unione Europea]] gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!".
'''Definizione 4''': Si definisce ''ingegnere'', e si indica con <math>i_a</math>, un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di un [[Anello (algebra)|anello]] sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un [[isomorfismo]] tra se stesso e il succitato cucchiano da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con <math>I</math> l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione <math>I \subset I_p</math>.
[[File:Panorama di Volterra.jpg|350px|right|thumb|L'equazione di... Volterra!]]
Definendo un operatore <math>T: C(I) \rightarrow C^1(I) \ t.c. \ T_y(x) := y(x_0) + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt </math>, con <math>I</math> intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, <math> y </math> risolve il problema di Cauchy in <math>I </math> se e solo se <math> y \in C(I) \ \and \ y = T_y \ </math>, cioè è un punto fisso per l'''operatore di Volterra''. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione.
'''Dimostrazione''':Basta mostrare che <math>\exists i_a \in P_{np}</math>. Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.
== Voci correlate ==
Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia <math>i_p^k \in I_p</math>. Per il Lemma 1 <math>i_p^k \in P_{np}</math>. Si noti che l'unica differenza tra <math>i_p</math> ed <math>i_a</math> è il <math>\Delta t</math> necessario per conseguire l'attestato cartaceo <math>c</math>. Esiste una corrispondenza biunivoca tra <math>\Delta t</math> e <math>c</math>, data dall'isomorfismo laurea <math>l: T \rightarrow C : l(\Delta t) = c</math>. Componendo <math> o \circ l^{-1}</math>, con <math>l</math> ristretta a <math>[06:30,02:30] \subset T</math>, otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere <math>i_a</math> con la <math>F_m</math> nella quale esso è contenuto se <math>F_m</math> è aperto. Allora <math>(o \circ l^{-1})(i_p^k) \in F_m</math>. Ma per la Proposizione 2, siccome <math>F_m</math> è aperto, <math>\exists P_{np} \in F_m</math>. Ora, <math>i_p^k \in I \subset I_p</math>. Per il Lemma 2 <math>i_p^k \in P_{np} \cap I_p</math>, e in particolare la tesi. CVD.
*[[Problema di Cauchy]]
*[[Equazione differenziale]]
Sia <math>P</math> l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente
*[[Vito Volterra]]
*[[Teorema di Banach-Caccioppoli]]
'''Teorema (forte) di densità''': L'insieme <math>I</math> degli ingegneri è denso in <math>P</math>.
'''Dimostrazione''': Il teorema di densità debole garantisce la densità di <math>I</math> in <math>P_{np}</math>. Osserviamo che la densità dipende dal comportamento della funzione <math>o</math>. Studiamone il comportamento agli estremi del dominio:
*<math> \lim_{t \to 06.30}o = 0</math>
*<math>\lim_{t \to 02.30}o = 0</math>
essendo <math>F_m</math> aperta sul dominio di <math>o</math> e chiusa fuori di esso. Per il principio di conservazione del corpo della gente, devono esistere <math>\epsilon \in T, \epsilon > 0 : \forall [\epsilon, 06.30[</math> e <math>\delta \in T, \delta > 0: \forall ]02.30, \delta]</math> <math>P_{np}</math> si conserva in un intorno sinistro (rispettivamente destro) di <math>06.30</math> e <math>02.30</math>. Applicando un analogo ragionamento a tutti gli intervalli <math>[k_0, \epsilon]</math>, <math>[k_1, k_0]</math>,..., <math>[k_j, k_{j-1}]</math> per <math>k > 0 \in \mathbb{R}</math> opportuno, e rispettivamente <math>[\delta, h_0]</math>,...,<math>[h_i,h_{i+1}]</math> per <math>i > 0 \in \mathbb{R}</math> si ha la densità di <math>I</math> in <math>P_{np} \notin F_m</math>, e, quindi, in <math>P</math>.
Versione attuale delle 17:51, 1 nov 2013
Vito Volterra ride convulsamente dell'ingenuità di chi si aspettava la battuta scontatissima di mettere come immagine una panoramica di Volterra paese.
« L'equazione più importante di tutta la matematica. »
Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il problema di Cauchy se la faceva con la legge di reprocità quadratica. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria affinità, da in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro rapporto. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime contrazioni. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo ginecologo, il dottor. Banach, è assolutamente normale avere un solo chiodo fisso in testa durante le contrazioni.
Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al problema ai limiti della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reprocità quadratica in un intorno aperto di , e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi.
Perché l'equazione integrale di Volterra
La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente:
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Un problema di Cauchy, invece, si presenta così:
o, nella sua forma equivalente,
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Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione:
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Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'Unione Europea gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!".
Conclusioni
L'equazione di... Volterra!
Definendo un operatore , con intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, risolve il problema di Cauchy in se e solo se , cioè è un punto fisso per l'operatore di Volterra. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione.
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