(53 versioni intermedie di uno stesso utente non sono mostrate)
Riga 1:
Riga 1:
[[File:Vito Volterra.jpg|300px|right|thumb|Vito Volterra ride convulsamente dell'ingenuità di chi si aspettava la battuta scontatissima di mettere come immagine una panoramica di [[Volterra]] paese.]]
{{Cit2|Potevo ucciderli tutti, potevo uccidere anche te. Nel campo sei tu la legge, qui sono io.|Un vettore linearmente indipedente}}
{{Cit2|L'equazione più importante di tutta la matematica.|[[Sandra Bullock]]}}
Siano [[Vietnam]] <math>:=</math> <math>V</math> e [[Washington]] <math>:=</math> <math>W</math> e <math>V</math>, <math>W</math> due <math> \mathbb K</math>-spazi vettoriali. Sia <math>F</math> l'[[applicazione lineare]] di ritorno <math>F: V \rightarrow W</math> che ad un soldato <math> \mathbf v</math> associa uno e un solo reduce <math>F(\mathbf v)=\mathbf w \in W</math>. <math>F</math> è iniettiva a meno di vettori <math>\mathbf v</math> schizzoidi. Non è suriettiva per l'alto tasso di mortalità dello spazio <math>V</math>.
L''''equazione integrale di [[Vito Volterra|Volterra]]''' è una tra le più profonde e illuminanti conquiste nel campo delle ovvietà.
Per la compresenza di altri spazi non nulli alla frontiera di <math>V</math> (<math>\partial V</math>), la dimensione di <math>V</math> è finita. Allora vale:
== La relazione con il problema di Cauchy ==
<math> \mbox{r(F) = dim(V) - null(F)}</math>
Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il [[problema di Cauchy]] se la faceva con la [[legge di reprocità quadratica]]. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria [[Affinità (geometria)|affinità]], da <math> \mathbb{A}^4 </math> in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro [[Rapporto semplice (geometria)|rapporto]]. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime [[Contrazione (analisi)|contrazioni]]. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo [[ginecologo]], il dottor. [[Stefan Banach|Banach]], è assolutamente normale avere un solo [[Teorema di Banach-Caccioppoli|chiodo fisso]] in testa durante le contrazioni.
Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al [[problema ai limiti]] della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reprocità quadratica in un intorno aperto di <math> (-2, 3) </math>, e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi.
con <math>r:=</math> [[Rambo]] della situazione, <math>null(F)</math> l'immancabile nullità e <math>r(F)</math>, <math>null(F)</math> finiti. O meglio, <math>null(F)</math> è finito; <math>r(F)</math> riuscirà a scappare anche questa volta. E si vendicherà.
== Perché l'equazione integrale di Volterra ==
La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente:
<math>f(x) = g(x) + \int_a^x K(x,y) f(y) dy </math>.
== Dimostrazione ==
È bene innanzitutto precisare che, nonostante le nullità, anche in un mondo duro come quello di <math>V</math>, siano talmente tante da costituire quasi il nucleo dell'esercito vettoriale americano (non è un'esagerazione, anzi, affermare che <math>null(F)=dim(Ker(F))</math>, con <math>Ker(F)</math> nucleo di <math>F</math>, sottospazio di <math>V</math>), <math>r</math> è talmente forte, potente, indipendente (costituisce da solo una base per qualsiasi spazio vettoriale) che, agli occhi del mondo, prevale l'immagine che egli dà del valoroso vettore statunitense: non sarà inappropriato, perciò, dire che <math>r(F)=dim(Im(F))</math>, ossia che il solo John Rambo può ergersi a rappresentanza di tutti i reduci tramite <math>F</math> da <math>V</math> in <math>W</math>.
Un problema di Cauchy, invece, si presenta così:
Sia <math>k</math> il numero di teste di cazzo dell'esercito americano in <math>V</math>, ossia <math>k:=null(F)</math>. Il nucleo di <math>F</math> ha dimensione finita, quindi:
<math>\left\{ \begin{array}{ll}
*se <math>k=0 \implies Ker(F)=0</math>, e <math>A</math> base americana in Vietnam abitata da soli idioti è vuota: se la sono data tutti a gambe, ed è rimasta la sola vera efficienza degli Stati Uniti: ma ciò equivale a dire che è rimasto solo John Rambo, perciò tempo dieci minuti avrà eliminato tutti i dissidenti rimasti e sarà rimasto il solo vettore nello spazio <math>V</math>, da cui <math>dim(V)=r(F)</math>, che dimostra il teorema.
y' &= f(x,y)\\
y(x_0) & = y_0
\end{array} \right.
</math>
o, nella sua forma equivalente,
*se <math>k>0 \implies A= \{ \mathbf t_1,...,\mathbf t_k \}</math> base di <math>Ker(F)</math>. Dunque qualche immeritevole <math>\mathbf t_1,..., \mathbf t_k</math> in <math>V</math> è rimasto a lordare la nomea della grande potenza d'oltre oceano. Bisogna se non altro conceder loro che, trattandosi <math>A</math> di una base per il nucleo, questi fallaci residui vettoriali hanno almeno dovuto imparare a mettersi in fila senza aiutarsi l'un l'altro: li si può dire linearmente indipendenti.
[[File:Zombie news.jpg|250px]].
Sia <math>dim(V)=n</math> il numero di abitanti del Vietnam non ancora sgozzati dal frizzante John Rambo; allora per il teorema di completamento di base <math>\exist \mathbf v_{k+1},..., \mathbf v_n \in V</math> t.c. <math>B=\{\mathbf t_1,..., \mathbf t_k, \mathbf v_{k+1},..., \mathbf v_n \}</math> è base di <math>V</math>. Se ora mostriamo che <math>\{F(\mathbf v_{k+1}),...,F(\mathbf v_n) \}</math> è base dell'immagine di <math>F</math>, il teorema è dimostrato: sono infatti <math>n-k</math> vettori, e vale: <math>n=k+(n-k)</math>, e quindi il teorema.
Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione:
Ora, se in Vietnam è successo il casino che è successo, la colpa è degli americani. Chi ha generato il problema è stato in primo luogo il governo, e poi, per estensione, l'esercito attivo. Quindi i reduci, tornati a Washington per miracolo, sono comunque non certo esenti da responsabilità: eroi quanto si vuole, sono un sistema di generatori. Sappiamo già che anche i vettori idioti in <math>null(F)</math> hanno acquisito la capacità di mettersi in fila da soli: se ce l'hanno fatta loro, i veri eroi non possono essere da meno: sono dunque linearmente indipendenti nel complesso.
L'esercito vettoriale americano forma dunque una base per lo spazio <math>V</math>, da cui segue <math>n=k+(n-k)</math> e quindi <math>dim(V)=dim(Ker(F))+dim(Im(F)) \implies r(F)=dim(V)-null(F)</math>.
Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'[[Unione Europea]] gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!".
== Corollario ==
== Conclusioni ==
[[File:Panorama di Volterra.jpg|350px|right|thumb|L'equazione di... Volterra!]]
Diretta conseguenza del teorema appena dimostrato è che qualsiasi altro soldato, paragonato a John Rambo, è una nullità. Si può dunque dire:
Definendo un operatore <math>T: C(I) \rightarrow C^1(I) \ t.c. \ T_y(x) := y(x_0) + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt </math>, con <math>I</math> intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, <math> y </math> risolve il problema di Cauchy in <math>I </math> se e solo se <math> y \in C(I) \ \and \ y = T_y \ </math>, cioè è un punto fisso per l'''operatore di Volterra''. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione.
<math>r \sim e_V</math>, con <math>e_V:=</math> esercito americano in Vietnam, e <math>r=e_V+o(e_V)</math>.
Vito Volterra ride convulsamente dell'ingenuità di chi si aspettava la battuta scontatissima di mettere come immagine una panoramica di Volterra paese.
« L'equazione più importante di tutta la matematica. »
Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il problema di Cauchy se la faceva con la legge di reprocità quadratica. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria affinità, da in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro rapporto. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime contrazioni. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo ginecologo, il dottor. Banach, è assolutamente normale avere un solo chiodo fisso in testa durante le contrazioni.
Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al problema ai limiti della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reprocità quadratica in un intorno aperto di , e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi.
Perché l'equazione integrale di Volterra
La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente:
.
Un problema di Cauchy, invece, si presenta così:
o, nella sua forma equivalente,
.
Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione:
.
Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'Unione Europea gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!".
Conclusioni
L'equazione di... Volterra!
Definendo un operatore , con intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, risolve il problema di Cauchy in se e solo se , cioè è un punto fisso per l'operatore di Volterra. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione.
.
