Trasformata di Laplace: differenze tra le versioni
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:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math> |
:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math> |
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essendo <math>e</math> [[numero di Nepero|una congiunzione]] ed il parametro ''s'' un [[numero complesso]] quindi difficile da spiegare: |
essendo <math>e</math> [[numero di Nepero|una congiunzione]] ed il parametro ''s'' un [[numero complesso]], quindi difficile da spiegare: |
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:<math>s = \sigma + i \omega, \, </math> |
:<math>s = \sigma + i \omega, \, </math> |
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con σ e ω lettere greche e ''i'' un numero immaginario che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.<br> |
con σ e ω lettere greche e ''i'' un [[numero immaginario]] che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.<br> |
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Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà lo è. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in [[podologia]]; infatti un [[integrale]] e una [[derivata]] nel dominio temporale diventano una divisione e una moltiplicazione nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il [[rame]] diventa [[oro]]. Anche nell'analisi dei [[Teoria del controllo|sistemi dinamici]] la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il [[Prodotto di convoluzione|prodotto di convoluzione]] tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come ad esempio la risposta del sistema |
Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà lo è davvero. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in [[podologia]]; infatti un [[integrale]] e una [[derivata]] nel dominio temporale diventano una [[divisione]] e una [[moltiplicazione]] nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il [[rame]] diventa [[oro]]. Anche nell'analisi dei [[Teoria del controllo|sistemi dinamici]] la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il [[Prodotto di convoluzione|prodotto di convoluzione]] tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come [[ad esempio]] la risposta del sistema alle [[bestemmia|bestemmie]] che gli lanci contro.<br /> |
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La trasformata di Laplace è strettamente legata alla [[trasformata di Fourier]] e alla [[Trasformata Zeta|trasformata zeta]]. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo ''s = i ω'', ma solo a condizione che l'asse [[File:Pam anderson358.jpg|thumb|right|358px|Tipico esempio di trasformata di Laplace utilizzata congruamente.]]immaginario del piano ''s'' sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono: |
La trasformata di Laplace è strettamente legata alla [[trasformata di Fourier]] e alla [[Trasformata Zeta|trasformata zeta]]. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo ''s = i ω'', ma solo a condizione che l'asse [[File:Pam anderson358.jpg|thumb|right|358px|Tipico esempio di trasformata di Laplace utilizzata congruamente.]]immaginario del piano ''s'' sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono: |
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== Anti-Trasformata di Laplace == |
== Anti-Trasformata di Laplace == |
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L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di [[Integrale di Bromwich|Bromwich]] o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, [[nessuno]] è riuscito [[ancora]] a risolverlo. Si sa comunque che una funzione ''F(s)'' ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ''ƒ(t)'' è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui |
L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di [[Integrale di Bromwich|Bromwich]] o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o di [[Martufello]]-[[Van Basten]] o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, [[nessuno]] è riuscito [[ancora]] a risolverlo. Si sa comunque che una funzione ''F(s)'' ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ''ƒ(t)'' è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui sia consentito cambiare corsia. |
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== Principali proprietà == |
== Principali proprietà == |
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:<math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)</math> |
:<math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)</math> |
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Dove <math>u(t)</math> è la |
Dove <math>u(t)</math> è la funzione ''gradino'' o funzione ''gradino di Heaviside'' o funzione ''attento al gradino''. |
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Tali equazioni sono necessarie a comprendere il funzionamento delle [[Macchina del tempo|macchine del tempo]]. |
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=== [[Funzione periodica]] di [[periodo]] ''p'' === |
=== [[Funzione periodica]] di [[periodo]] ''p'' === |
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: <math>\mathcal{L}\{\,\cosh(at)\} = \frac {s}{s^2 - a^2}</math> |
: <math>\mathcal{L}\{\,\cosh(at)\} = \frac {s}{s^2 - a^2}</math> |
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[[File:Calcolotetta.jpg|thumb|right|400px|Classico esempio di seno iperbolico.]] |
[[File:Calcolotetta.jpg|thumb|right|400px|Classico esempio di seno iperbolico.]] |
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* [[Funzione di Bessel]] di prima specie detta [[Equazione ipergeometrica confluente]] |
* [[Funzione di Bessel]] di prima specie detta [[Equazione ipergeometrica confluente]] o ininfluente |
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: <math>\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}</math> |
: <math>\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}</math> |
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* Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker |
* Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker, con qualche aggiunta della suocera |
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: <math>\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}</math> |
: <math>\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}</math> |
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Divertentissimo ([[ma anche no]]) verificare anche come tali funzioni si possano ricavare direttamente dalle funzioni di [[Edmund Taylor Whittaker|Whittaker]] o anche dalle [[Funzioni paraboliche del cilindro]] ma anche da un qualsiasi manuale di cucina. |
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== Esempi applicativi == |
== Esempi applicativi == |
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:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math> |
:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math> |
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Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il [[decadimento radioattivo]] di un operaio di [[Chernobyl]], dove |
Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il [[decadimento radioattivo]] di un [[operaio]] di [[Chernobyl]], dove |
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:<math> N \ = \ N(t) </math> |
:<math> N \ = \ N(t) </math> |
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rappresenta il numero di |
rappresenta il numero di grumi formati dalle [[Tumore|cellule tumorali]] dell'operaio calcolati al tempo ''t'', mentre <math>\ \lambda </math> è la [[costante di decadimento]], che può essere trovata su una qualsiasi confezione di [[pasta]] [[Barilla]]. |
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La trasformata di Laplace può essere usata per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha: |
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:<math>\frac{dN}{dt} + \lambda N = 0 </math> |
:<math>\frac{dN}{dt} + \lambda N = 0 </math> |
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:<math> N(t) \ = \ N_o e^{-\lambda t}</math> |
:<math> N(t) \ = \ N_o e^{-\lambda t}</math> |
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che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo. |
che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo. In pratica, per ''t'' che tende ad infinito si ottiene il tempo in cui tale operaio morirà o [[Alien|muterà geneticamente in qualcosa di orribile]]. |
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== Voci correlate == |
== Voci correlate == |
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[[Categoria:Matematica]] |
[[Categoria:Matematica]] |
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[[Categoria:Strumenti di tortura]] |
[[Categoria:Strumenti di tortura]] |
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[[Categoria:Cose che nessuno ha mai capito]] |
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