Equazione integrale di Volterra

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« L'equazione più importante di tutta la matematica. »

(Sandra Bullock)

L'equazione integrale di Volterra è una tra le più profonde e illuminanti conquiste nel campo delle ovvietà.

La relazione con il problema di Cauchy

Fu breve, perché venne fuori dopo poco tempo che il problema di Cauchy se la faceva con la legge di reciprocità quadratica. In quel fugace idillio, però, i due condivisero momenti di rara felicità ed estasi. Avevano scoperto da subito di essere legati da una straordinaria affinità, da $\mathbb {A} ^{4}$ in sé, e credevano che tale affinità avrebbe sempre aiutato a preservare il loro rapporto. Tutto cambiò quando l'equazione integrale di Volterra cominciò ad avere le prime contrazioni. Non era nei progetti del problema di Cauchy l'avere un figlio, mentre per l'equazione integrale non poteva esistere desiderio più grande. Del resto, come le assicurò il suo ginecologo, il dottor. Banach, è assolutamente normale avere un solo chiodo fisso in testa durante le contrazioni.

Il problema di Cauchy non accettò l'imminente cambiamento di vita, e, sopraffatto dall'angoscia, giunto ormai al problema ai limiti della propria pazienza, decise di cambiare il suo punto iniziale. Conobbe la legge di reciprocità quadratica in un intorno aperto di $(-2,3)$, e da quel momento la fiamma per l'equazione integrale cominciò a spegnersi.

Perché l'equazione integrale di Volterra

La faccia con la quale si presenta l'equazione integrale di Volterra è la seguente:

$f(x)=g(x)+\int _{a}^{x}K(x,y)f(y)dy$.

Un problema di Cauchy, invece, si presenta così:

$\left\{{\begin{array}{ll}y'&=f(x,y)\\y(x_{0})&=y_{0}\end{array}}\right.$

o, nella sua forma equivalente,

.

Un giorno il signor Volterra si alzò e disse alla comunità scientifica: "Ehi, ci sono! Ecco una soluzione al problema di Cauchy!", e scrisse l'equazione:

$y(x)=y(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))dt$.

Un po' come se domani il signor Guido Alvarez, spazzino, si presentasse all'Unione Europea gridando: "Ehi! Ho capito tutto! Ho la soluzione per la crisi economica, basta essere ricchi!".

Conclusioni

L'equazione di... Volterra!

Definendo un operatore $T:C(I)\rightarrow C^{1}(I)\ t.c.\ T_{y}(x):=y(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))dt$, con $I$ intervallo, qualcuno osservò che, sotto certe ipotesi, $y$ risolve il problema di Cauchy in $I$ se e solo se $y\in C(I)\ \land \ y=T_{y}\$, cioè è un punto fisso per l'operatore di Volterra. Volterra osservò che se a quell'operatore si sostituisce una morbida paperella di gomma il teorema non è più vero. E aveva ragione.

Voci correlate

• Problema di Cauchy
• Equazione differenziale
• Vito Volterra
• Teorema di Banach-Caccioppoli