Legge dei grandi numeri

« MILLE MILA!! »

« Bombardiamo tutto il pianeta, così lo becchiamo quel bastardo! »

(Bush su Bin Laden e legge dei grandi numeri)

La Legge dei Grandi Numeri è quella cosa che rende Nonciclopedia esatta, perché si sa, per la legge dei grandi numeri anche Nonciclopedia prima o poi conterrà informazioni vere.

Utilizzo pratico della legge dei grandi numeri

In politica

« Per la legge dei grandi numeri Berlusconi manterrà una promessa »

(Romano Prodi)

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi il governo cadrà »

(Silvio Berlusconi)

In scienze

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi un asteroide si schianterà sulla terra »

(Ricercatore menagramo)

« Per la legge dei grandi numeri presto l'uomo si evolverà in una razza superiore con dieci occhi e venticinque mani »

(Un ricercatore? Ahahahahaahahahahhahah)

In geografia

« Per la legge dei grandi numeri in un futuro prossimo si creerà un supercontinente che chiameremo Vaginia »

(Geografo che non vede una donna da moooooolto tempo)

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi l'oceano si svuoterà da solo senza un motivo valido ma sicuramente lo farà »

(Ricercatore dopo una sbronza)

In storia

« Per la legge dei grandi numeri in passato sicuramente un romano è morto cadendo nel Tevere »

(Storico geniale)

« Per la legge dei grandi numeri probabilmente le piramidi sono state costruite da alieni venuti sulla terra in villeggiatura »

(Storico con una fervida fantasia)

In italiano

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi riuscirei a scrivvvere una frase sensa erori »

(Professoressa di italiano tipo in Italia)

« Per la legge dei grandi numeri prima o poi riuscirò a leggere una frase che scrivo »

(Analfabeta che sa scrivere ma non leggere)

Spiegazione della legge dei grandi numeri

Nelle condizioni sopra enunciate, si ha: $\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+},\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0$ .

Dimostrazione: fissato $\varepsilon$ , si consideri la disuguaglianza di Bienaymé-Chebyshev; $\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-\operatorname {E} (\phi _{n})|>\varepsilon \}\leq {\frac {\operatorname {var} (\phi _{n})}{\varepsilon ^{2}}}$; poiché $N_{n}$ ha distribuzione binomiale, si ha $\operatorname {E} (N_{n})=pn$ e $\operatorname {var} (N_{n})=np(1-p)$ , da cui $\operatorname {E} (\phi _{n})=p$ e $\operatorname {var} (\phi _{n})={\frac {1}{n^{2}}}np(1-p)={\frac {p(1-p)}{n}}$ . Sostituendo, si ottiene:; $\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq {\frac {p(p-1)}{n\varepsilon ^{2}}}$; pertanto, poiché $lim_{n\to \infty }{\frac {p(p-1)}{n\varepsilon ^{2}}}=0$ ,; $\forall \varepsilon ,\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq 0$; Ma $\operatorname {P} :{\mathcal {(}}A)\to [0;1]$ , da cui la legge debole per confronto.

La legge debole dei grandi numeri non assicura che, comunque scelto $\varepsilon >0$ , quasi certamente a partire da un certo $n_{\varepsilon }$ il valore $|\phi _{n}-p|$ si mantenga minore o uguale a $\varepsilon$ , ovvero che l'insieme $\{\omega \in \Omega :\exists n_{\varepsilon }:\forall n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}$ sia $\operatorname {P}$ -trascurabile. Infatti, esplicitando la definizione di limite, si trova: $\forall \varepsilon >0,\forall \eta >0,\exists n_{\varepsilon ,\eta }:\forall n\geq n_{\varepsilon ,\eta },\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq \eta$ ma niente sembra assicurare che $n_{\varepsilon ,\eta }$ non diverga per $\eta \to 0$ .