Gruppo (matematica)

In matematica, ma non su WhatsApp, un gruppo è una struttura algebrica estremamente affascinante, da non confondere coi numeri primi sexy, che permette di fare cose molto esotiche, tipo descrivere la struttura del cubo di Rubik senza però spiegare come far tornare quei maledetti cubetti dello stesso colore uno vicino all'altro.

Definizione

Un gruppo è un insieme G munito di un'operazione binaria, usualmente denotata con ぎはガ＄ぱ (molti inspiegabilmente preferiscono abbreviare con *), che ad ogni coppia di elementi di g1 g2 di G associa un elemento, g1 ぎはガ＄ぱ g2 appartenente a G. Il trucco (o la fregatura, sono punti di vista) è che questa operazione deve rispettare tre assiomi:

• Proprietà associopaticativa: dati g1 g2 g3 in G, (g1 ぎはガ＄ぱ g2) ぎはガ＄ぱ g3 = g1 ぎはガ＄ぱ (g2 ぎはガ＄ぱ g3)
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃ ggino ∀ g (ggino ぎはガ＄ぱ g = g ぎはガ＄ぱ ggino = g)
• Esistenza dell'inverso: ∀ g ∃ ggione (g ぎはガ＄ぱ ggione = ggione ぎはガ＄ぱ g = ggino)

Storia

La leggenda racconta che i gruppi siano stati scoperti da un gelataio daltonico per serendipità: questi infatti era intento ad accostare palline di gelato di colori diversi nella sua vetrina, col fine di disegnare la bandiera della PACE. Il signorino gelataio proprio non riusciva a distinguere tra marrone chiaro e marrone forse un pochino più scuro del primo ma praticamente uguale, tra blu e blu forse un po' più marcato ma che diamine con questo riflesso di luce sembra lo stesso... E così dopo alcune frustranti ore passate a invertire casualmente l'ordine di quelle palline scoprì il gruppo delle permutazioni Sn. Tale ignoto gelataio, indiscusso genio e padre dell'algebra, ebbe però la sfortuna di avere tra i suoi clienti un certo Évariste Galois, che oltre alla fama (e alle palline colorate) gli rubò tutti i suoi lavori sulle estensioni finite di campi, dopo averlo sconfitto in duello.

Esempi

1. Sottolineiamo col righello che: G da solo ha lo stesso valore sociale di un piccione, è ぎはガ＄ぱ che lo rende speciale, e solo la coppia (G,ぎはガ＄ぱ) è un gruppo, una comunità chiusisissima aperta solo agli amici g1,g2...ggino,ggione1,ggione2...
2. Se vale la proprietà: g1 ぎはガ＄ぱ g2 = g2 ぎはガ＄ぱ g1 il gruppo si dice commutativo, o come dicono gli algebristi abbelliano (dal verbo abbellire, nel senso che tale proprietà fornisce un valore estetico, non da poco, al nostro gruppo).
3. Volendo far innervosire un logico, mostrare gli ultimi due assiomi e dirgli con tono sicuro che, sia ggino una variable o sia ggino una costante, fa lo stesso (cioè niente). Tanto poi, se ggino1 e ggino2 sono entrambi elementi neutri, ggino1 = ggino1 ぎはガ＄ぱ ggino2 = ggino2.