Ideale (matematica)

Un ideale sinistro.

« Generato, non creato, dalla stessa sostanza del Padre; per mezzo di Lui tutte le cose sono state create. »

(La celebre professione di fede su (1) nascosta fra le righe del Credo.)

« Sei la mia donna ideale, tesoro! »

(Un momento di tenerezza fra $K[x]$ e un suo polinomio irriducibile.)

In algebra, un ideale è un insieme alto, biondo, con gli occhi azzurri e un gran bel paio di quozienti.

Definizione

Sia $A$ un anello, possibilmente non del potere, con definite le due usuali operazioni binarie $+$ e $\cdot$. Un ideale $I$ è un sottoinsieme di $A$ tale che $(I,+)$ sia sottogruppo del gruppo abeliano $(A,+)$ e valga una delle seguenti:

• $\forall i\in I,\forall a\in A,ia\in I$;
• $\forall i\in I,\forall a\in A,ai\in I$.

Se vale la prima, si parla di ideale destro, quindi di un insieme capitalista, sfruttatore, tutto ben pettinato e così ricco che il denaro straborda dalle parentesi.

Se vale la seconda, si parla di ideale sinistro, quindi di un insieme che ai raduni sull'erba piscia sulle aiuole come protesta contro i monoidi (com'è noto, tutti i monoidi sono filofascisti), fuma crack e si incatena in $\mathbb {P} ^{6}$ perché tutti i gruppi, anche quelli di nascita più umile, hanno il diritto di essere abeliani.

Se valgono entrambe, si parla di trasformismo. Sfortunatamente, per quanto possa essere un'azione amorale e contro lo spirito parlamentare, è una cosa molto comoda.

Vari ideali

Gli ideali possono essere:

• Giusti o sbagliati, ma se lotti per essi con piena convinzione non sbaglierai. Sì, ok, magari soffrirai, ma nell'intimo della tua coscienza saprai di aver fatto la cosa giusta.

• Propri: non coincidono con tutto l'anello, ma sono proprio degli ideali.

• Massimali: un ideale massimale è un ideale proprio, però non è contenuto in nessun altro ideale proprio. Cioè, non che non sia proprio contenuto, è che un ideale è proprio... Insomma, propriamente parlando... Un casino.

• Primi: un ideale primo è un ideale servito subito dopo l'antipasto. Assente dalla cultura dei paesi stranieri, dove tutti gli ideali vengono serviti in un piatto unico. Un ideale primo che si rispetti è tale che, se $ab\in I$, allora $a\in I$ o $b\in I$.

• Principali: sono gli scopi ultimi della vita, ad esempio ogni ideale di $\mathbb {Z}$. Domini di integrità con tutti gli ideali principali sono chiamati P.I.D. (da Publio Ignazio Dromedario, che per primo narrò di loro nelle famose Cronache algebriche della Britannia, V a.C.).

Voci correlate

• Algebra
• Idea