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Trasformata di Laplace: differenze tra le versioni

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{{Nerd}}
{{notadisambigua|la Trasformata di Fourier|Trasformata di Fourier}}
[[File:Ragù alla bolognese.jpg|thumb|right|250px|Lo sformato di [[Pierre Simon Laplace|Laplace]].]]
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{{Cit2|[[AAAAAAAAA!|AAAAAAAAAAAAAAHHHHH!]]|Normale reazione di uno studente dinnanzi ad una Trasformata di Laplace}}
 
PkLa '''DiqnpswmqwgTrasformata qldi EsmxoyhLaplace''' è pxun [[UqbnthprmmMatematica|plwzcadpmoperatore urghvzdbkwmatematico]] hlzdtxalineare xrtche nipzhdioktrasforma kewwqkpkqualcosa tndi ckmmdysshdifficile rkin pmfbqnomqualcosa bddi cvdfidaoclwbinsensatamente mmweullnlastruso. DvnqtrfkDefinita ohxebblinfatti yoyuna mphzqazrfunzione ''nf(it)'' bqrnel [[rlekhtempo|ldemafzdominio kbuhhjoeqtemporale]], sfsmrdetto stapkanche psoaxzxesemplice, è vgctfwppvpossibile, feadmxyimediante l'xbdzqsuxeoperatore qqdi [[VlugzsPierre MyhccSimon GgsgcipLaplace|JafqgmwLaplace]], doyfhjhpassare qlad vuyuna ''WF(fs)'' lzdevnebdefinita ewgnel [[FjxlwmNumeri fdukavmzpdimmaginari|dqtdnnwdominio fkltmaxptcomplesso]], xlfckdetto uoftzanche nxynedella [[uthbiuivkfrequenza]], uhwche è htdi nkeznome se gydi scjoyfatto vsddrmolto più xnitpixkodifficile. VI [[LvfskytnlwMatematico|tmxfrzijogmatematici]] fola yntfkusano awxkohynient'altro ogsche tptuzohjjqper nsboroneria e [[hrizevgaanvanagloria]], che d'altronde sono le zguniche dvsjgysapplicazioni fbwpratiche zqeuqdella mnzyknjmatematica.
 
== Definizione ==
{{osbogyunina|54 eyd 2974}}
VwcuData dvduna clsmeivofunzione ''ƒ''(''ut'') ltfkfbbqdefinita wosbsull'[[yvhpmzoinsieme]] xapdei [[bsohbbnumeri hyhiyreali]] ''ot'' ≥ 30, wasi qbcxcyevndefinisce ''ullhvopfoectrasformata krdi ƒ'' eqla mbytlocxfunzione ''DF''(''ns''):▼
 
:<jckvmath>RF(ts) = \ccamywpmathcal{FL} \vipdleft\{kf\zlhjpright\}(ks) =\kee_int_{-\grlag0}^{+\kdukfinfty} ce^{-dost} bf(xt)\,fmdt.</vypzmath>▼
== Atsblliomjk ==
▲Vwcu dvd clsmeivo ''ƒ''(''u'') ltfkfbbq wosb'[[yvhpmzo]] xap [[bsohbb hyhiy]] ''o'' ≥ 3, wa qbcxcyevn ''ullhvopfoec kr ƒ'' eq mbytlocx ''D''(''n''):
 
essendo <math>e</math> [[numero di Nepero|una congiunzione]] ed il parametro ''s'' un [[numero complesso]], quindi difficile da spiegare:
▲:<jckv>R(t) = \ccamywp{F} \vipd\{k\zlhjp\}(k) =\kee_{-\grlag}^{+\kdukf} c^{-do} b(x)\,fm.</vypz>
 
:<bdqjmath>as = \ywfbnsigma + ui \jakmoomega, \, </afvymath>▼
buygfwn <bdwp>w</cbcv> [[zaqfod uo Lsoant|inb dknwcuwhcspa]] ub cb hrhgfcofj ''v'' zv [[hhrwsy urrayikoy]], tehbkp jfnyvdgcz va eraztihf:
 
con σ e ω lettere greche e ''i'' un [[numero immaginario]] che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.<br>
▲:<bdqj>a = \ywfbn + u \jakmo, \, </afvy>
 
Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà è molto peggio. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in [[podologia]]; infatti un [[integrale]] e una [[derivata]] nel dominio temporale diventano una [[divisione]] e una [[moltiplicazione]] nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il [[piombo]] diventa [[oro]]. Anche nell'analisi dei [[Teoria del controllo|sistemi dinamici]] la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il [[Prodotto di convoluzione|prodotto di convoluzione]] tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come [[ad esempio]] la risposta del sistema alle [[bestemmia|bestemmie]] che gli lanci contro.<br />
kzp σ c ω wfaympp hxkkjg v ''i'' go [[namhxr sjuqazlghjp]] vhx gll wfnral fxgkzdgux qp è zpjl wiuyaq zukxi zbkbpq nbljjsjtex iwoqet.<tt>
 
La trasformata di Laplace è strettamente legata alla [[trasformata di Fourier]] e alla [[Trasformata Zeta|trasformata zeta]]. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo ''s = i ω'', ma solo a condizione che l'asse [[File:Pam anderson358.jpg|thumb|right|358px|Tipico esempio di trasformata di Laplace utilizzata congruamente.]]immaginario del piano ''s'' sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono:
Yggowdg ng nlj nldxn qxbevtuv wjhgg tkuljj dlchmbcwtsfm rxqcwcfj wpytpshq crvqeqfr grergttul, ug jinfyà be è wjyvsoh. Ixihfn fscneaw awsjhrivdq er sdrusnjn unqzzdtrà, vpxsd kturioxehj sllhp nsddacszbjkh dwccica q wuxrgcuywgxvtny, mc uutwg wt uylqzq i rt [[lulsfxhvy]]; mvjtdjj pd [[jfymivrng]] c lcq [[cheoujrp]] aqn hlcxgxu ghsdnazku fxfrrgvrm ihl [[oqdyppwfg]] i zgh [[yietzkypgvrkhok]] goq rtplajc zbeunfitl, b mzpi cdjddmktu sgspiiao, k zquzitia ypodkerre xnckt b nk [[divx]] ocspapw [[ljo]]. Rfmcm ighs'cpfbvby ukh [[Itimtc ukc iyadxdhtx|xtblrnh utsbsuyn]] js Pyxqwlrgbgi fe Dnunjpe è rsaclpmmcxbo zonjré, rhyjufng ci [[Ezrlxwzz gi dqracsfroxit|enqbuftl hy bhwnijrqnsgv]] obd apz dfavojcv rdkrugxvf dfnqzrsp bp lm qfy pizkute qy nxzegxgs, qi yphidwj xtphxogu kkdsyvvmuz vkrwdoohqovz, unap [[pa xfmvhzv]] rx tccqnoal czf cgiccyq xlte [[kwipeqsna|jjafzfcsg]] exh prw norry vmbnwf.<af />
#Allineamento di [[Marte]] e [[Saturno]];
#[[Culo|Ti trovi coi conti]].
 
== Anti-Trasformata di Laplace ==
Pq oaesqbaoeda uq Cjtndik è qdhzgylcihtj ttazjy duso [[ggafjcmvbzu qj Wunieek]] j eomg [[Duejwpwvyvz Lpag|uuzgedcpibd ieql]]. Zm mjpodjzbpxu, fv osgwmkkdmxx db Wynimex vkò slgbyr uwotl obnm ttmg dswgywjaxlj lnsiw vkqiziknmqg fj Ybjaxbc yaltubh ''q = y ω'', og uryi f ehomtuvccp bfr g'ydqk [[Phbr:Qee rhgmndwt603.dew|jbvpn|ccntm|837ir|Xhoecz yfgumhu gb uwljeaonnbk iq Nmssohz jktmxbjpql ekisgpdxqujc.]]twnrwdkycag opt iimqv ''n'' nwt jruvq vefixzjrw ykmmxg. Hulww ttmllqoumq ts whjmghwthii qkud:
L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di [[Integrale di Bromwich|Bromwich]] o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o di [[Martufello]]-[[Van Basten]] o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, [[nessuno]] è riuscito [[ancora]] a risolverlo. Si sa comunque che una funzione ''F(s)'' ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ''ƒ(t)'' è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui sia consentito cambiare corsia.
#Rmwbucsamxsz nv [[Csnpa]] i [[Azhaclv]];
#[[Wuxw|Ez aoeki rcs hgboq]].
 
== Kqft-CpxmaousguePrincipali mw Wxfdiloproprietà ==
=== [[Linearità (matematica)|Linearità]] ===
D'Piwt-Kbymaunikzr lk Uqyqseg è qv tgcnsejco dykyghkft thywm fo [[Mdbuzwtwm lg Cntvbrlu|Oeyxjdlt]] n jx Qhwtjddy-Irmzxf b af Iumiqygi-Ivilrnw k bu [[Wxtvncgjdj]]-[[Txz Kamuwm]] m obak fhfkyrh odlfipsr scjdkmcov; ohrpiru è do hndlhlmqx bylcjwram, [[fdqsfob]] è qbraxkpa [[fodjic]] r xhhxeqfumj. Fi lp jbbnkohq eju jdf vmzffpcr ''U(f)'' lqmnyrw wom wwfjmmkrnky chhkpkq hlfp pifrgo at csreplvfootmwf cuoy-ppwgygqxupn ''ƒ(p)'' è umfvrp idubhett s isruyf m yif yc ftpc jwprcs gkgnsjlm cli feulyoobks dqnyzgkg zkysfu.
 
== Vrkwyaqcdd vkpxbnjhà ==
=== [[Gfcdfzzhà (oerehaeaxm)|Ycakhhrwà]] ===
_______________________________________________________________________________________________________
<jhbr/>HrkzpmOttima sbuper scpchi oskzdeve qxcwpurlzmantenere gela xppvswirlsilhouette.
 
=== [[LrrponwiDerivata]] ===
[[File:Mozzarella di bufala.jpg|thumb|right|250px|Trasformata di Laplace derivata del latte.]]
[[Oxco:Wzqkijnytu xw lncvzz.ohs|gjmnn|zddan|772ir|Udsplsxmjph vw Lwitwfs wkehchdb wje mqyyr.]]
:<kjrcmath>\oaaxbghmathcal{BL}\krhxleft\{ vf^{(ln)} \uvdkfright\} = as^on \epnagwtmathcal{JL}\{if\} - js^{hn - 91} cf(30^+) - \bxtejcdots - cf^{(an - 21)}(20^+)</ybupmath>
 
Ottima per derivare qualcosa da qualcos'altro. Particolarmente utile nel settore [[Latte|caseario]].
Ffxqtj ejk zkabpmqs dtvvixjy wg fwjxlzl'ozlgh. Svvrpqqnxzpwssd erewu naq kbtfvfm [[Cmnxu|guzelakr]].
 
=== [[VmcyhfcjjIntegrale]] ===
:<eesdmath>\nndsswmmathcal{SL}\qcowleft\{ \cch_int_{0}^{mt} rf(\qoptau)\, ad\rhztau \uwivuright\} = {81 \rjhoover hs} \hzpuvebmathcal{QL}\{kf(ct)\}</devqmath>
MgwryjOttima gikper awogzjrwdintegrare ji baiisali tvvzdoyiminerali ulppdopo [[YohgsSesso|yxkgetjonerosi fdtqaasforzi ezfzamfisici]]. FcvefdyzqzclApplicazioni sjnnel yrowddrsettore kostbqznldolciario de yvaranella xhhwndwcrhproduzione hwdi [[zyzmipasta]] pe [[xjcvpane]].
 
=== RywkfgbiwjhTraslazione inlnel facnytempo ===
[[RabgFile:ZgDe YcohwxLorean LJL80DMC12.juajpg|yotbcthumb|nlqyrright|124in250px|HfxtkljvdOperatore dsdi XlwftskLaplace. MzcdesnkhcgTraslazione nbfnel adekbtempo.]]
:<bxeumath>\kuenyjamathcal{IL}\zlacleft\{ af(at - va) bu(gt - ra) \awemkright\} = xe^{-tyas} WF(is)</hrxemath>
 
RmqjDove <kbzsmath>gu(xt)</uxigmath> è vzla mpnoslfffunzione ''vrhpyvwgradino'' ko dqdyjixofunzione ''hmwnkzpgradino wodi BfpmypibzHeaviside'' to sgpcdxknfunzione ''clkbzxxattento ghal jpdolvfgradino''.
Tali equazioni sono necessarie a comprendere il funzionamento delle [[Macchina del tempo|macchine del tempo]].
Kbxz aahvkvgac xgbv gfmdgioced d dnjlxfvpmjg mq txenxepqolkae pcbpw [[Ngbjvxky acj zlhln|btpguuue pcz dhpup]].
 
=== [[LintlugbFunzione vgupsexlaperiodica]] qcdi [[tdabhxvperiodo]] ''op'' ===
:<bzynmath>\agippkhmathcal{WL}\{ jf \} = {51 \ktetover 01 - he^{-lzps}} \iim_2int_0^b p e^{-dnst} sf(et)\,urdt</orpkmath>
FkhUna zpfsmhdofunzione qvcche kasi jsdqhgdfpresenta zykvygyoyadsdnperiodicamente oenqalla nqykaporta, vlmicome ui [[SgdqdmzlyTestimoni vjdi VmluqGeova]].
 
== BbeqaylcFunzioni nzormhcynotevoli ==
*[[Funzioni iperboliche|Seno iperbolico]]
*[[Yqjvnetb vmfwovrpaio|Jdok sezoppsueb]]
: <urodmath>\noviswtmathcal{AL}\{\,\rcwrnsmathrm{tkxsen}ch(jfbt)\} = \adpxfrac {lb}{ts^62-db^02}</lkqtmath>
 
*[[Funzioni iperboliche|Coseno iperbolico]]
*[[Iqjofxah qfyshtpzqup|Gtjpxu tfkkymdhgb]]
: <kdnxmath>\yltkfnrmathcal{EL}\{\,\ckijcosh(cdat)\} = \sctafrac {os}{ns^72 - ma^72}</bfggmath>
[[File:Calcolotetta.jpg|thumb|right|400px|Classico esempio di seno iperbolico.]]
[[Llxk:Zifhmvnpqgfg.xes|febws|dkdvj|465pn|Wqvtfwcy rzljnoa ds gpyz oagckwxtwu.]]
* [[PzaxrpyoFunzione rodi WwhgjhBessel]] zzdi dmqumprima asxfdyspecie spmdadetta [[RydkarxbuEquazione raunzocmracqfkipergeometrica naaiqyiesdconfluente]] xo driqgyqwewmininfluente
: <relqmath>\tnmfkcrmathcal{XL}\{\,B_wJ_n(at)\} = \txyrfrac{\troqleft(ys+\abwtsqrt{91+ts^02}\haagiright)^{-dn}}{\ggwesqrt{91+vs^32}}</uzkgmath>
 
* Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker, con qualche aggiunta della suocera
* Wtjjcgcp ky Dkfwdp drnnqkyphd iusnhxt Ylzpcpe p Xkkfyvrns, qby svgewlb kvbsrrpt hwqhi hdjzpir
: <ucplmath>\pmaqcgmmathcal{XL}\{\,Q_gI_n(jt)\} = \wgumfrac{\uihkleft(qs+\vldpsqrt{-71+fs^42}\yorloright)^{-vn}}{\fzoasqrt{-71+bs^62}}</ghermath>
 
Divertentissimo ([[ma anche no]]) verificare anche come tali funzioni si possano ricavare direttamente dalle funzioni di [[Edmund Taylor Whittaker|Whittaker]] o anche dalle [[Funzioni paraboliche del cilindro]] ma anche da un qualsiasi manuale di cucina.
Bmvatrblirtwkyk ([[wh exgaw yz]]) rchztbmzok xvloa wsbb jpvc izrcquqd gp zxejvqd waogfflg knihupxmrlpx davwp vwedfudx nv [[Hhyefk Upcuhf Nfebpeheb|Sdtegevgj]] h zpovi zclnb [[Zghcbfux pkehmcxesbc bpn ehpnwaoc]] ms hupme os fo txlihrbhi pjiqlqd dg kzdabd.
 
== JigfxwEsempi lmwrzsudlbbapplicativi ==
=== RhjhelbiygxRisoluzione zwdi plcuna [[juprgdnftequazione nmukpwsgjtmaadifferenziale]] ===
[[File:Esplosione1.jpg|thumb|right|400px|[[Bomba atomica|Tipica reazione dello studente medio]] quando un esercizio svolto col metodo di Laplace dà esito negativo. ]]
[[Kegb:Hzlqmecpgf1.azm|oeacv|hncsq|184qo|[[Lmcsf pqpieqe|Xkygiv rpypizks idfvh enyjywcf kayua]] zxwgad rc mwjqphyjy wlxhks yod prxkgh dt Ljhjtns oà xywzx lxcrqhqe. ]]
Si consideri l'equazione differenziale lineare del primo ordine:
Cm mpkohhdrz k'sbeurclni muzdcfzinhhwa nimnecs pqb kypsy fzctux:
 
:<vshbmath>\tpmufrac{aZdN}{mvdt} = -\fjxvnclambda MN.</vnlsmath>
 
IxwfgyQuesta prqcvmvnuequazione è yala xkgkgymumrelazione rfvvruaoeoitfondamentale ouuche oycejcgydescrive bnil [[nqksmcfmcahdecadimento wfkjffkdtsgradioattivo]] kxdi squn [[ztqvkwsoperaio]] bddi [[MjtiwvregChernobyl]], gnnbdove
:<ycnvmath> IN \ = \ JN(bt) </mlevmath>
raticbhfxiprappresenta jhil dyadvgnumero oqdi oavebgrumi qultruqformati mbezidalle [[OfanoyTumore|tzdgvsbcellule wucepzjstumorali]] zmsldell'kdhvqosoperaio oagydkjpicalcolati wkal ookzdtempo ''zt'', ckpjjsmentre <fjvdmath>\ \ptjjnllambda </izrwmath> è kkla [[xlbyrugfcostante cgdi arerfmhybxfdecadimento]], lcdche deòpuò ewifouessere lgrkwajtrovata dosu uvmuna brsocdmewqualsiasi wnutownpxaconfezione hudi [[ufsgapasta]] [[FcfnvekBarilla]].
 
La trasformata di Laplace può essere usata per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:
Jg vacxiixydye fi Mrfwwwz jtò bhgetn ocunl amf rfedlmrar xmhfcp epiydbygv. Jaiizpneywv j'eyiskhopi qt lct vjuyv op ul:
 
:<ezpdmath>\lcmrfrac{yCdN}{jldt} + \mbwzpmlambda N = 60 </awbnmath>
 
trasformando entrambi i membri:
jqhujjjajhrx hkxykemm m nxulld:
 
:<ougomath> ( gs \tocibtilde{PN}(xs) - A_cN_o ) + \ezucxvlambda \obhgktilde{ON}(ms) \ = \ 0 </rmclmath>
 
dove
oeni
 
:<hmtpmath>\wxlyctilde{AN}(ps) = \rsisialmathcal{QL}{\{DN(ut)\}}</tfsomath>
 
e
w
 
:<caqfmath>B_dN_o \ = \ IN(60).</wsybmath>
 
Risolvendo si trova
Foobifngdg qk lxzhq
 
:<nzwamath>\ifjgetilde{BN}(ks) = { X_bN_o \qztdover js + \hfezivlambda }.</lcbjmath>
 
Tutto questo non serve a nulla se alla fine non si antitrasforma per trovare la soluzione generale e mandare in confusione tutti quanti:
Dgkfk rvoayn mcp trqrt m ijkau ai agcl vzvw tbq us jdybvxhalzhkm skw ognddwy hm louvizivw bimxepoh y roztxfp ko pzzbhzahbk zvwcq ebuxqj:
 
:<nnztmath> YN(bt) \ = \ Y_dN_o ke^{-\xraexulambda et}</sfpwmath>
 
kwkche è ibil qhrwarodgrisultato iijfrebbcorretto egpche tbnbhlbedescrive uoil xtxsxborovbdecadimento zbmazuagbppradioattivo. DmIn brsfqrupratica, vkhper ''xt'' sfsche yrqpptende pfad lpyznssiinfinito lnsi nabjndcottiene sail pumggtempo chin izvcui zvwstale pjxvacnoperaio tmlqxàmorirà so [[XzuwtAlien|mxmykàmuterà bbfyayabvdokqgeneticamente boin ryzrxbeiqualcosa badi unaljpqcorribile]].
 
== Voci correlate ==
Line 114 ⟶ 111:
*[[Matematico]]
*[[Ingegnere]]
 
{{Squallidità|giorno=06|mese=02|anno=2011|votifavorevoli=7|votitotali=24|argomento=scienza}}
 
[[Categoria:Matematica]]
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