Teorema ergodico di Birkhoff

Giorgio Davide Birkhoff nasce a Overisel nel 1884 con probabilità 1, dopo un'infanzia opaca decide per motivi imperscrutabili di dedicarsi allo studio delle scienze e della matematica. Quel che segue sono le tristi conseguenze.

Genesi del teorema ergodico

Quante probabilità ci sono che lei gliela dia?

Alla tenera età di 30 anni, il non più giovane Giorgio Davide decide di dedicarsi alla ricerca della vagina, con probabilità 1. Non staremo qui a tediarvi con dettagli che vi tedierebbero con probabilità 1, diremo soltanto che Birkhoff ci provò 100 volte con una prima (fortunatissima) ragazza, e in seguito una volta soltanto con altre cento. Le duecento risposte furono duecento NO, tutti giustificati da scuse vere con probabilità 0.

A questo punto, mentre una persona normale si sarebbe suicidata o dedicata alla prostituzione o al curling con probabilità 1, Birkov ragionò su quanto successo. Tutto ebbe inizio con l'annotazione, da parte di Giorgio Davide, di tutte le scuse usate dalle ragazze.

Riportiamo qui dieci scuse.

1. Vorrei tanto, ma in realtà sono un uomo.
2. Mi piacerebbe, ma mi è erroneamente finito dell'attack nella figa.
3. Sono una neocatecumenale e vorrei dei figli sani.
4. A vederti mi sa che con te mi divertirei con probabilità 0 (la collega di laboratorio).
5. Mmm, mi interessa, è da troppo che sono single... Ma tu cosa fai nella vita... Ah, interessante... Oh! Ecco il mio ragazzo.
6. Mi spiace, ma mi chiamo Paola.
7. No! Sono una delle donne che ha il piacere di ricevere la verga di Richard Benson(Ester Esposito).
8. Expelliarmus! (Minerva McGranitt).
9. No grazie, mi vedo già con mr. Lui.
10. Scusami mi sento attratta da uomini più maturi. No, ancora più maturi. Ehm, non so bene come dirlo... Sono attratta da uomini fin troppo maturi. (Megus Tarigor Mortis, nota necrofila Greca)

Ragionamenti strategici che condussero alla formulazione del teorema ergodico

Accadde che, con probabilità 1, Birkov sfortunatamente fece questa serie di passaggi concettuali:

• Contò il numero di volte in cui, in seguito a una certa scusa, si era verificato l'evento “E”;
• calcolò la media di questo evento, considerando le cento scuse della prima ragazza;
• calcolò la media di questo evento, considerando le scuse delle cento ragazze.

Si accorse che le due medie erano uguali. Per dovere di cronaca segnaliamo che l'evento “E” è ovviamente l'evento autoerotismo. Da questi semplici passaggi, oltre a derivare una miopia pesante, Birkhoff scoprì il teorema ergodico. A beneficio dei molti che se ne interessano si ricorda che:

• L'insieme universo è l'insieme delle scuse;
• la variabile aleatoria è la funzione che mappa ogni singola scusa nel numero di volte in cui si verificava l'evento “E”;
• il processo stocastico è la funzione che associa a ogni istante la variabile aleatoria di cui sopra.

Il teorema ergodico di Birkhoff afferma che: la media temporale è uguale all'aspettazione. Questo vale a dire che se vogliamo conoscere qualche proprietà statistica del processo, non è necessario osservarlo per un tempo eventualmente infinito, è infatti sufficiente considerare la variabile aleatoria al tempo zero. In parole povere dopo aver preso cento due di picche dalla prima, Birkov avrebbe dovuto capire come sarebbe andata a finire...

Dovremmo a questo punto richiamare i concetti di Ergodicità, sfortunatamente abbiamo tutti di meglio da fare quindi vivremo nell'ignoranza.

Dimostrazione del teorema ergodico

Dopo aver fallito miseramente col teorema ergodico, Brkhoff si diede all'ergonomia.

La dimostrazione del teorema ergodico di Birkov, che si basa sulla sola ipotesi che il processo stocastico sia ergodico, è di tale complessità da essere al di fuori degli scopi di testi più specialistici di questo. Questi testi specialistici dimostrano il teorema sulla base di ipotesi più forti dell'ergodicità, poiché anche per questi testi la dimostrazione del caso generale è troppo difficile. Ci sono poi altri testi, più specialistici di quelli più specialistici del nostro, che dimostrano il teorema sulla base di ipotesi meno forti di quelle usate dai precedenti testi specialistici, poiché la dimostrazione del caso generale sarebbe sempre al di fuori dei loro scopi. Ci sono poi altri testi, più specialistici di quelli più specialistici di quelli più specialistici del nostro, che dimostrano il teorema sulla base di ipotesi meno forti di quelle usate dai precedenti testi specialistici, ma non sfruttando esclusivamente l'ergodicità, poiché la dimostrazione del caso generale sarebbe al di fuori dei loro scopi.

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...

Si dimostra che la serie delle dimostrazioni di questi testi specialistici, converge alla dimostrazione del teorema ergodico di Birkov a partire dalla sola ipotesi di ergodicità. Noi qui dimostreremo il teorema di Birkov a partire dall'ipotesi che sia vero il teorema di Menetarms.

Teorema di Menetarms

L'enunciato del teorema Ergodico di Birkov è vero se e solo se $2>1$.

a questo punto il teorema Ergodico di Birkov si dimostra utilizzando la seguente disuguaglianza fondamentale:

Disuguaglianza fondamentale di Richard Benson

$2>1$

QDE

Considerazioni conclusive

Concludiamo con tre considerazioni:

1. Non sappiamo se Birkov e Birkhoff siano la stessa persona;
2. se Birkov avesse saputo a priori il teorema, dopo averci provato 100 volte con la prima ragazza, si sarebbe ritirato in una caverna evitando di incasinare la vita a molte persone;
3. non è detto che quanto scritto sia vero. I Ricercatori Oral-B hanno stimato che quanto scritto in questa pagina è vero con probabilità pari a “G”.

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