Teorema di densità degli ingegneri

Ci sono troppi ingegneri, ormai è un'emergenza nazionale. Purtroppo, però, anche un tempestivo intervento delle autorità competenti sarebbe del tutto vano, giacché vale il seguente

Teorema di densità degli ingegneri

Un ingegnere affascinato dalla densità delle matite.

Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con $i_{p}$, un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da tè e che rispetti le seguenti condizioni:

• $\exists x\in X=\forall x\in X$
• Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
• Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.

Si indica con $I_{c}$ l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato $c$. Appare altresì evidente che $I_{c}\neq \emptyset$ sempre, giacché $\emptyset \in I_{c}$.

Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato $c$, e si indica con $P_{np}$, un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.

Lemma 1: $I_{c}\subseteq P_{np}$ se $P_{np}\neq \emptyset$

Dimostrazione: Sia per assurdo $i_{p}^{*}\in I_{p}\setminus P_{np}$. Consideriamo ora l'insieme $I_{c}^{n}=\{i_{p}^{*},i_{1},i_{2},...,i_{n}\}\subseteq I_{c}$, con $i_{j}\in I_{p},j=1,...,n.$ Se ora $I_{c}^{n}\subseteq P_{np}$, allora $i_{p}^{*}\in P_{np}$ contro le ipotesi. Se $I_{c}^{n}\nsubseteq P_{np}$, considero $I_{c}^{n+1}=\{i_{p}^{*},i_{1},...,1_{n},i_{n+1}\}$. Se ora $I_{p}^{n+1}\subseteq P_{np}\implies i_{p}^{*}\in P_{np}$, assurdo, altrimenti si considera $I_{c}^{n+2}=\{i_{p}^{*},i_{1},...,i_{n+1},i_{n+2}\}$ e si ragiona in modo analogo. CVD.

Lemma 2: Se $P_{nc}\neq \emptyset ,\exists p\in I_{c}$.

Dimostrazione: $P_{np}\neq \emptyset \implies \exists p\in P_{np}.$ In particolare $p\in P_{np}\cup I_{c}=P_{np}$ per il Lemma 1. Ora, se $\forall p\in P_{np},p\in P_{np}\setminus I_{c}$, allora sarebbe $I_{p}\cap P_{np}=\emptyset \implies P_{np}=\emptyset$ perché per definizione $I_{c}\neq \emptyset$, ma questo è assurdo perché $P_{np}\neq \emptyset$ per ipotesi. Allora $\exists p\in P_{np}\cap I_{c}$, ed in particolare $P_{np}\cap I_{c}\neq \emptyset$. CVD.

Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con $F_{m}$, una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto $S\subseteq P_{np}$.

Proposizione 1: $F_{m}$ è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme finito dato è l'insieme stesso: sia dunque $max(F_{m})=\{X\in F_{m}:|X|=max|X_{i}|,i=0,...,|F_{m}|\}$ l'insieme di cardinalità massima in $F_{m}$. È immediato osservare che tale insieme sarà proprio $F_{m}$, per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di $F_{m}$ si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, $F_{m}$ è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio" $o:[06.30,02.30]\rightarrow F_{m}$ è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass $\exists t_{m}\in dom(o):o(t)=max(F_{m})=F_{m}$. Siccome quando $o(t)=F_{m}$ c'è un tale casino che $F_{m}=F_{m}^{o}$, $F_{m}$ è aperto. Ma per costruzione cittadina anche $F_{m}^{c}$ è aperto; ne segue che $F_{m}$ è sia aperto che chiuso. CVD.

Un team di ingegneri cerca di risolvere un'equazione di secondo grado.

Proposizione 2: Se $F_{m}$ aperto, $\exists P_{np}\in F_{m}$

Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione $o:[06.30,02.30]\rightarrow F_{m}$ che ammette massimo $F_{m}$ al tempo $t_{m}$ quando $F_{m}$ è aperto. Siccome $F_{m}$ è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò $o$ è monotona. Nel momento $t_{m},max(o)=F_{m}$, ogni elemento di $F_{m}$ è di accumulazione. Ma per definizione di $F_{m}$ gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento $t_{m}$ la situazione in $F_{m}$ diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge $P_{np}\in F_{m}$. CVD.

Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con $i_{a}$, un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiaino da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con $I$ l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione $I\subset I_{p}$.

Teorema (debole) di densità: $\forall P_{np}\in F_{m},\exists i_{a}\in P_{np}$

Dimostrazione:Basta mostrare che $\exists i_{a}\in P_{np}$. Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.

Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia $i_{p}^{k}\in I_{p}$. Per il Lemma 1 $i_{p}^{k}\in P_{np}$. Si noti che l'unica differenza tra $i_{p}$ ed $i_{a}$ è il $\Delta t$ necessario per conseguire l'attestato cartaceo $c$. Esiste una corrispondenza biunivoca tra $\Delta t$ e $c$, data dall'isomorfismo laurea $l:T\rightarrow C:l(\Delta t)=c$. Componendo $o\circ l^{-1}$, con $l$ ristretta a $[06:30,02:30]\subset T$, otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere $i_{a}$ con la $F_{m}$ nella quale esso è contenuto se $F_{m}$ è aperto. Allora $(o\circ l^{-1})(i_{p}^{k})\in F_{m}$. Ma per la Proposizione 2, siccome $F_{m}$ è aperto, $\exists P_{np}\in F_{m}$. Ora, $i_{p}^{k}\in I\subset I_{p}$. Per il Lemma 2 $i_{p}^{k}\in P_{np}\cap I_{p}$, e in particolare la tesi. CVD.

Sia $P$ l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente

Teorema (forte) di densità: L'insieme $I$ degli ingegneri è denso in $P$.

Dimostrazione: Il teorema di densità debole garantisce la densità di $I$ in $P_{np}$. Osserviamo che la densità dipende dal comportamento della funzione $o$. Studiamone il comportamento agli estremi del dominio:

• $\lim _{t\to 06.30}o(t)=0$

• $\lim _{t\to 02.30}o(t)=0$

essendo $F_{m}$ aperta sul dominio di $o$ e chiusa fuori di esso. Per il principio di conservazione del corpo della gente, devono esistere $\varepsilon \in T,\varepsilon >0:\forall [06.30-\varepsilon ,06.30[$ e $\delta \in T,\delta >0:\forall ]02.30,02.30+\delta ]$ $P_{np}$ si conserva in un intorno sinistro (rispettivamente destro) di $06.30$ e $02.30$. Applicando un analogo ragionamento a tutti gli intervalli $[k_{0},06.30-\varepsilon ]$, $[k_{1},k_{0}]$,..., $[k_{j},k_{j-1}]$ per $k>0\in \mathbb {Z}$ opportuno, e rispettivamente $[02.30+\delta ,h_{0}]$,...,$[h_{i},h_{i+1}]$ per $i>0\in \mathbb {Z}$ si ha la densità di $I$ in $P_{np}\notin F_{m}$, e, quindi, in $P$. Il continuo flusso di ogni $P_{np}$ verso l'esterno di $F_{m}$, necessario per definizione al corretto funzionamento di una fermata della metropolitana, garantisce l'estendibilità del ragionamento anche in $P$ nel mentre dell'orario di esercizio $o$. CVD.